Fungsi Variabel Acak Independen

Apakah klaim bahwa fungsi variabel acak independen itu sendiri independen, benar?

Saya telah melihat bahwa hasil sering digunakan secara implisit dalam beberapa bukti, misalnya dalam bukti independensi antara mean sampel dan varians sampel dari distribusi normal, tetapi saya belum dapat menemukan pembenaran untuk itu. Tampaknya beberapa penulis menganggapnya seperti yang diberikan tetapi saya tidak yakin bahwa ini selalu terjadi.

The definisi yang paling umum dan abstrak kemerdekaan membuat pernyataan ini sepele sementara memasok kondisi kualifikasi penting: bahwa dua variabel acak adalah sarana independen sigma-aljabar mereka menghasilkan independen. Karena sigma-aljabar yang dihasilkan oleh fungsi terukur dari sigma-aljabar adalah sub-aljabar, maka setiap fungsi terukur dari variabel-variabel acak tersebut memiliki aljabar independen, di mana fungsi-fungsi itu independen.

(Ketika suatu fungsi tidak dapat diukur, biasanya tidak membuat variabel acak baru, sehingga konsep independen bahkan tidak berlaku.)

---

Mari kita buka definisi untuk melihat betapa sederhananya ini. Ingatlah bahwa variabel acak $X$ adalah fungsi bernilai nyata yang didefinisikan pada "ruang sampel" $\Omega$ (himpunan hasil yang dipelajari melalui probabilitas).

1. Variabel acak $X$ dipelajari dengan menggunakan probabilitas bahwa nilainya terletak dalam berbagai interval bilangan real (atau, lebih umum, set dibangun dengan cara sederhana di luar interval: ini adalah set Borel yang dapat diukur dari bilangan real).

2. Sesuai dengan setiap Borel set terukur adalah acara X * ( I ) yang terdiri dari semua hasil ohm yang X ( ω ) terletak pada saya .$I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. Aljabar-sigma yang dihasilkan oleh ditentukan oleh kumpulan semua peristiwa semacam itu.$X$

4. Definisi naif mengatakan dua variabel acak dan Y adalah independen "ketika probabilitas mereka berkembang biak." Yaitu, ketika saya adalah satu set Borel yang dapat diukur dan J adalah yang lain, maka$X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. Tetapi dalam bahasa peristiwa (dan aljabar sigma) itu sama dengan

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

Pertimbangkan sekarang dua fungsi dan anggaplah bahwa dan adalah variabel acak. (Lingkaran adalah komposisi fungsional: . Ini adalah apa artinya menjadi "fungsi dari variabel acak".) Perhatikan - ini hanya teori himpunan dasar - itu f ∘ X g ∘ Y ( f ∘ X ) ( ω ) = f ( X ( ω ) ) $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

Dengan kata lain, setiap peristiwa yang dihasilkan oleh (yang ada di sebelah kiri) secara otomatis merupakan peristiwa yang dihasilkan oleh$f\circ X$$X$ f ∘ X g ∘ Y (seperti yang ditunjukkan oleh bentuk sisi kanan). Karenanya (5) secara otomatis berlaku untuk dan : tidak ada yang perlu diperiksa!$f\circ X$$g\circ Y$

---

NB Anda dapat mengganti "bernilai nyata" di mana saja dengan "dengan nilai dalam " tanpa perlu mengubah apa pun dengan cara material apa pun. Ini mencakup kasus variabel acak bernilai vektor.$\mathbb{R}^d$

Pertimbangkan bukti "kurang canggih" ini:

Biarkan , di mana adalah variabel acak independen dan adalah fungsi yang dapat diukur. Kemudian: Menggunakan independensi dan , X , Y f , g P { f ( X ) ≤ x  dan  g ( Y ) ≤ y $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$X Y P ( { X ∈ { w ∈ R n : f ( w ) ≤ x }

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ $X$$Y$ $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

Idenya adalah untuk memperhatikan bahwa set sehingga sifat yang berlaku untuk diperluas ke dan yang sama terjadi untuk .X f ( X )

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ $X$$f(X)$$Y$

Ya, dan independen untuk fungsi dan selama dan independen. Ini adalah hasil yang sangat terkenal, yang dipelajari dalam mata kuliah teori probabilitas. Saya yakin Anda dapat menemukannya di teks standar apa pun seperti Billingsley.h ( Y ) g h X $g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

Bukan sebagai alternatif, tetapi sebagai tambahan untuk jawaban brilian sebelumnya, perhatikan bahwa hasil ini sebenarnya sangat intuitif.

Biasanya, kami berpikir bahwa dan menjadi independen berarti mengetahui nilai tidak memberikan informasi tentang nilai dan sebaliknya. Penafsiran ini jelas menyiratkan bahwa Anda tidak dapat "memeras" suatu informasi dengan menerapkan suatu fungsi (atau dengan cara lain apa pun sebenarnya).$X$$Y$$X$$Y$