Apakah mungkin untuk mengintegrasikan

Pertama, dengan mengintegrasikan secara analitis, maksud saya, apakah ada aturan integrasi untuk menyelesaikan ini yang bertentangan dengan analisis numerik (seperti aturan trapesium, Gauss-Legendre atau Simpson)?

Saya memiliki fungsi mana $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$ adalah fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi lognormal dengan parameterdan. Di bawah ini, saya akan menyingkat notasi kedan menggunakanuntuk fungsi distribusi kumulatif.

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

g (x)

$g(x)$

G (x)

$G(x)$

Saya perlu menghitung integral

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

Saat ini, saya melakukan ini dengan integrasi numerik menggunakan metode Gauss-Legendre. Karena saya perlu menjalankan ini berkali-kali, kinerja sangat penting. Sebelum saya melihat ke dalam mengoptimalkan analisis numerik / bagian lain, saya ingin tahu apakah ada aturan integrasi untuk menyelesaikan ini.

Saya mencoba menerapkan aturan integrasi per bagian, dan saya sampai di sini, di mana saya terjebak lagi,

. $\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

Saya buntu, karena saya tidak dapat mengevaluasi . $\int G(x) \rd x$

Ini untuk paket perangkat lunak yang saya bangun.

distributions lognormal

— Rosh
sumber

l o g n o r m a l

$lognormal$

Ini dapat dinyatakan sebagai kali konstan perbedaan dari dua cdf normal. Cdf normal dihitung secara efisien menggunakan pendekatan rasional Chebyshev W. Cody. Anda seharusnya tidak perlu dan, hampir pasti tidak boleh lebih suka , alternatif integrasi numerik untuk ini. Jika Anda membutuhkan detail lebih lanjut, saya dapat mempostingnya.

— kardinal

@mpiktas, Ya, lognormal adalah fungsi kepadatan probabilitas dan lognormalCDF adalah fungsi kepadatan kumulatif.

— Rosh

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

Jawaban singkat : Tidak, itu tidak mungkin, setidaknya dalam hal fungsi dasar. Namun, algoritma numerik yang sangat baik (dan cukup cepat!) Ada untuk menghitung kuantitas seperti itu dan mereka harus lebih disukai daripada teknik integrasi numerik apa pun dalam kasus ini.

Jumlah bunga dalam hal cdf normal

$X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

$z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

Perkiraan angka

$\Phi(x)$

Jadi, kita dibiarkan menggunakan algoritma numerik untuk memperkirakan jumlah yang diinginkan. Ini dapat dilakukan ke dalam floating point presisi ganda IEEE melalui algoritma WJ Cody. Ini adalah yang algoritma standar untuk masalah ini, dan memanfaatkan ekspresi rasional urutan cukup rendah, itu cukup efisien, juga.

Berikut ini adalah referensi yang membahas aproksimasi:

WJ Cody, Pendekatan Chebyshev Rasional untuk Fungsi Kesalahan , Matematika. Comp. , 1969, hlm. 631--637.

$R$

Ini pertanyaan terkait, jika Anda tertarik.

— kardinal
sumber