Distribusi nilai-nilai ekstrem

Jika suatu item mengikuti distribusi normal, rata-rata juga mengikuti distribusi normal. Bagaimana dengan minimum dan maksimum?

Anda harus melihat statistik pesanan . Berikut ini ikhtisar yang sangat singkat.

Misalkan menjadi sampel iid ukuran n yang diambil dari populasi dengan fungsi distribusi F dan fungsi kerapatan probabilitas f . Tentukan Y 1 = X ( 1 ) , ... , Y r = X ( r ) , ... , Y n = X ( n ) , di mana X ( r ) menunjukkan statistik urutan r sampel$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$ , yaitu, yang r th nilai terkecil.$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

Hal ini dapat ditunjukkan bahwa probabilitas gabungan fungsi kepadatan dari adalah$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

jika y 1 < y 2 < … < y n dan 0 sebaliknya.$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Dengan mengintegrasikan persamaan sebelumnya kita dapatkan

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

Secara khusus, untuk minimum dan maksimum, kita masing-masing miliki

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

$n\rightarrow\infty$

Jumlah Gaussians adalah Gaussian. Itu sebabnya rata-rata normal. Distribusi fungsi non-linier dari (yang banyak) orang Gaussians tidak harus berupa orang Gaussian, dan biasanya tidak. Seperti halnya fungsi maksimum. Untuk memperkirakan maksimum Gaussian multivarian, Hothorn adalah tempat yang baik untuk memulai.