Apakah ada teorema yang mengatakan bahwa menyatu dalam distribusi ke normal seperti pergi ke tak terhingga?

Biarkan menjadi sembarang distribusi dengan mean, , dan deviasi standar, ditentukan . Teorema batas pusat mengatakan bahwa menyatu dalam distribusi ke distribusi normal standar. Jika kita mengganti dengan sampel standar deviasi , apakah ada teorema yang menyatakan bahwa menyatu dalam distribusi ke t-distribusi? Karena untuk besar$X$$\mu$$\sigma$

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$distribusi t mendekati normal, teorema, jika ada, dapat menyatakan bahwa batasnya adalah distribusi normal standar. Oleh karena itu, bagi saya tampaknya bahwa distribusi-t tidak terlalu berguna - bahwa mereka hanya berguna ketika kira-kira normal. Apakah ini masalahnya? $X$

Jika memungkinkan, apakah Anda akan menunjukkan referensi yang mengandung bukti CLT ini ketika digantikan oleh ? Referensi semacam itu lebih disukai menggunakan konsep teori ukuran. Tetapi apa pun akan menjadi hal yang hebat bagi saya pada saat ini.$\sigma$$S$

Untuk menguraikan komentar @ cardinal, pertimbangkan sampel iid berukuran dari variabel acak dengan beberapa distribusi, dan momen terbatas, mean dan standar deviasi . Tentukan variabel acak$n$$X$$\mu$$\sigma$

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ Teorema Limit Sentral dasar mengatakan bahwa $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

Pertimbangkan sekarang variabel random di mana adalah standar deviasi sampel .$Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

Sampel iid dan momen sampel memperkirakan momen populasi secara konsisten. Begitu

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

Masukkan @ cardinal: Teorema Slutsky (atau lemma) mengatakan, antara lain, bahwa mana adalah konstanta . Ini adalah kasus kami

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

Adapun kegunaan dari distribusi Siswa, saya hanya menyebutkan bahwa, dalam "kegunaan tradisional" yang terkait dengan tes statistik masih diperlukan ketika ukuran sampel sangat kecil (dan kami masih dihadapkan dengan kasus-kasus seperti itu), tetapi juga, bahwa ia memiliki telah banyak diterapkan pada model seri autoregresif dengan heteroskedastisitas (kondisional), terutama dalam konteks Ekonometrika Keuangan, di mana data seperti itu sering muncul.