Saya membaca tentang teori tipe dependen dalam buku online Homotopy Type Theory .
Di bagian 1.3 dari bab Type Theory , ia memperkenalkan gagasan tentang hierarki Semesta : , di mana
setiap alam semesta adalah elemen dari alam semesta selanjutnya . Selain itu, kami mengasumsikan bahwa alam semesta kami bersifat kumulatif, yaitu bahwa semua elemen alam semesta juga merupakan elemen dari alam semesta .
Namun, ketika saya melihat aturan pembentukan untuk berbagai jenis dalam lampiran A, sekilas, jika sebuah alam semesta muncul di atas mistar sebagai premis, alam semesta yang sama muncul di bawah. Misalnya untuk aturan pembentukan tipe coproduct:
Jadi pertanyaan saya adalah mengapa hierarki diperlukan? Dalam keadaan apa Anda perlu melompat dari alam semesta ke alam yang lebih tinggi dalam hierarki? Sangat tidak jelas bagi saya bagaimana diberikan kombinasi , Anda bisa berakhir dengan tipe yang tidak ada di . Secara lebih rinci: aturan pembentukan di bagian lampiran A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2, disebutkan dalam premis dan penilaian, atau hanya dalam penilaian.
Buku ini juga mengisyaratkan bahwa ada cara formal untuk menetapkan alam semesta:
Jika ada keraguan tentang apakah argumen itu benar, cara untuk memeriksanya adalah dengan mencoba menetapkan level secara konsisten untuk semua alam semesta yang muncul di dalamnya.
Bagaimana proses untuk menetapkan level secara konsisten?
akan mengarah ke paradoks Russell . Menghindari paradoks Russell secara eksplisit disebutkan dalam buku (halaman 24). Hal ini juga masuk ke dalam perincian lebih lanjut halaman 54, 55 yang menggunakan "alam semesta gaya Russell" daripada "alam semesta gaya Tarski". Jadi pada tingkat yang sangat tinggi, saya menerima begitu saja bahwa teorinya ingin menghindari paradoks. Sayangnya saya tidak memiliki latar belakang untuk memahaminya secara langsung. Apa yang saya kejar dalam pertanyaan ini, benar-benar hanya menggaruk permukaan dengan mendapatkan beberapa contoh hal dalam dan tidak dalam untuk dan mungkin hal lain yang memberi saya rasa untuk cara kerja hierarki.