Mengapa masalah ini tidak diputuskan dalam NP?

Jelas tidak ada masalah yang tidak dapat dipastikan dalam NP. Namun, menurut Wikipedia :

NP adalah himpunan semua masalah keputusan yang contohnya adalah "ya" memiliki [.. bukti yang] dapat diverifikasi dalam waktu polinomial oleh mesin Turing deterministik.

[...]

Suatu masalah dikatakan dalam NP jika dan hanya jika ada verifikasi untuk masalah yang dieksekusi dalam waktu polinomial.

Sekarang pertimbangkan masalah berikut:

Diberikan persamaan Diophantine , apakah ia memiliki solusi integer?

Mengingat solusi, mudah untuk memverifikasi dalam waktu polinomial bahwa itu benar-benar adalah solusi: hanya pasang angka ke dalam persamaan. Dengan demikian, masalahnya ada di NP. Namun, menyelesaikan masalah ini terkenal tidak dapat dipungkiri !

(Demikian pula, tampaknya masalah penghentian harus di NP, karena solusi "ya" dari "program ini berhenti pada langkah ke-N" dapat diverifikasi dalam langkah N.)

Jelas ada yang salah dengan pemahaman saya, tapi apa itu?

Definisi ekivalen NP adalah bahwa ia terdiri dari semua masalah yang dapat diurai (bukan hanya dapat diverifikasi) dalam waktu polinomial oleh mesin Turing non-deterministik. NTM diketahui tidak lebih kuat dari TMs dalam arti bahwa serangkaian masalah yang dapat diputuskan oleh NTM identik dengan serangkaian masalah yang dapat diputuskan oleh TMs, jadi jelas dengan definisi ini tidak ada masalah yang tidak dapat diputuskan dalam NP.

Untuk menunjukkan bahwa dua definisi NP adalah setara, mengingat keberadaan verifier deterministik Anda dapat menunjukkan bahwa penentu non-deterministik ada, dan sebaliknya.

Katakanlah Anda memiliki verifikasi polinomial deterministik. Lalu ada juga mesin yang secara non-deterministik menebak sertifikat yang panjangnya dibatasi oleh polinomial yang sesuai dengan ukuran sertifikat yang terikat pada masalah / verifikasi ini dan kemudian menjalankan verifikasi. Karena alfabetnya terbatas, sertifikat untuk setiap input yang diberikan adalah terbatas (dan paling banyak polinomial dalam ukuran input), dan verifier berjalan dalam waktu polinomial, mesin berhenti di semua cabang untuk semua input dan berjalan di (non- deterministik) waktu polinomial. Jadi ada penentu non-deterministik untuk setiap verifier deterministik.

Jika Anda memiliki penentu non-deterministik, maka untuk setiap perhitungan yang menerima Anda dapat menuliskan jalur pilihan yang diambil oleh penentu untuk mencapai keadaan penerimaan. Karena penentu berjalan dalam waktu polinomial, jalur ini paling panjang polinomial. Dan sangat mudah untuk TM deterministik untuk memvalidasi bahwa jalan tersebut adalah jalan yang valid melalui NTM ke menerima keadaan, sehingga jalur tersebut membentuk sertifikat untuk waktu polinomial verifier untuk masalah tersebut. Jadi ada verifikasi deterministik untuk setiap penentu non-deterministik.

Jadi setiap masalah yang tidak dapat diputuskan tidak dapat memiliki verifier yang berfungsi pada sertifikat dengan ukuran polinomial (jika tidak, keberadaan verifier akan menyiratkan adanya penentu).

Ketika Anda mengklaim bahwa ada verifikasi untuk masalah penghentian, sertifikat yang Anda bicarakan adalah beberapa penyandian (TM, I, N), di mana TM berhenti pada input I dalam langkah-langkah N. Ini memang dapat diverifikasi dalam langkah-langkah N, tetapi ukuran sertifikat tidak polinomial dalam ukuran input (TM, I) ke masalah asli (masalah terputus-putus); N dapat menjadi besar secara arbitrer (terlepas dari pengkodean). Jika Anda mencoba mengonversi verifikasi seperti itu menjadi penentu non-deterministik, Anda berakhir dengan mesin yang agak menarik. Anda harus dapat membuktikan bahwa ketika dijalankan pada (TM, I) untuk TM yang tidakberhenti pada input Saya tidak ada jalur non-berhenti melalui mesin, tetapi juga bahwa untuk setiap jalur yang mengarah ke keadaan berhenti selalu ada jalan lagi yang lebih panjang (sesuai dengan perkiraan N yang lebih besar), dan dengan demikian tidak ada batas yang terbatas pada waktu eksekusi. Pada dasarnya ini adalah karena ada ruang tak terbatas yang perlu dieksplorasi oleh tebakan non-deterministik awal. Mengubah NTM seperti itu menjadi TM deterministik mengarah ke salah satu mesin yang tidak memotong atau berhenti pada beberapa input. Bahkan tidak ada NTM yang dapat memutuskan masalah penghentian, dan karenanya tidak ada verifikasi yang bekerja pada sertifikat dengan ukuran terbatas.

Saya tidak begitu akrab dengan persamaan Diophantine, tetapi sepertinya pada dasarnya masalah yang sama berlaku untuk argumen Anda di sana.

Untuk alasan ini saya merasa lebih mudah untuk menjelaskan tentang definisi NTM untuk NP. Ada pengukur untuk masalah yang tidak dapat diputuskan (hanya saja tidak yang bekerja pada sertifikat yang memiliki ukuran polinomial terikat dalam ukuran input ke masalah asli). Faktanya, setiap TM yang mengenali tetapi tidak memutuskan beberapa bahasa dapat dengan mudah dikonversi menjadi pemverifikasi untuk bahasa yang sama.

Jika Anda benar-benar memikirkan tentang verifier, saya kira Anda harus memberikan batasan waktu dalam hal ukuran input masalah asli , bukan dalam hal ukuran sertifikat; Anda dapat secara sembarangan mengembang ukuran sertifikat sehingga verifikasi berjalan dalam batas waktu yang lebih rendah dalam hal ukuran sertifikat.

Saya pikir Anda salah paham apa artinya menyelesaikan persamaan diophantine, dan teorema keragu-raguan Matiyasevich .

Matiyasevich membuktikan bahwa untuk setiap RE set ada diophentine persamaan f ( n ; x 1 , . . . , X k ) sehingga n ∈ S hanya jika ada bilangan bulat koefisien x 1 , .., x k sehingga f ( n ; x 1 , . . . , x k ) = $S$$f(n;x_1,...,x_k)$$n \in S$$x_1$$x_k$$f(n;x_1,...,x_k) = 0$. Secara khusus, masalah penghentian adalah set RE yang khas, dan dengan demikian menyelesaikan masalah di atas tidak dapat diputuskan.

Perhatikan bahwa tidak dibatasi dalam ukuran, dan secara umum dapat sewenang-wenang besar, sehingga tidak ada "polinomial berukuran sertifikat" jelas dalam masalah ini.$x_1, ... x_k$

Untuk memperluas: bilangan bulat perlu ditulis dalam biner menjadi sertifikat. Karena bilangan bulat ini bisa besar secara arbitrer (berapapun n ), kami memiliki sertifikat yang tidak polinomial dalam log n atau yang lebih penting, tidak dibatasi oleh dan fungsi yang dapat dihitung.$x_1, ... , x_k$$n$$\log n$

Namun setiap masalah dalam , memiliki sertifikat yang dibatasi oleh beberapa polinomial p ( N ) (di mana N adalah ukuran input). Jadi N P pertanyaan yang sepele decidable, karena Anda dapat menghitung setiap bit string yang mungkin upto panjang$\mathsf{NP}$$p(N)$$N$$\mathsf{NP}$ dan jika tidak satupun dari mereka menyatakan input, palsu kembali. Jika ada yang mengembalikan true.$p(N)$

Anda seharusnya menggulir ke bawah ke definisi formal :

$L$$p$$q$$M$

• $x$$M$$p(|x|)$$(x,y)$
• $x \in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 1$
• $x \not\in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 0$ .

Artinya, verifier harus bekerja juga pada non-solusi. Di suatu tempat di sana, masalah yang tidak dapat dipastikan gagal (dalam kasus Anda, batasan panjang kandidat solusi mungkin tidak terpenuhi), seperti yang terlihat jelas oleh (dalam arti komputabilitas) yang lebih jelas. definisi :

NP adalah serangkaian masalah keputusan yang ditentukan oleh mesin Turing non-deterministik yang beroperasi dalam waktu polinomial.

Saya mencoba memberikan rincian lebih lanjut untuk jawaban saya di atas.

Sebenarnya, pertanyaan ini adalah masalah dilema.

Di satu sisi, Masalah Persamaan Diophantine (DEP) tidak dapat diputuskan menurut teorema Matiyesevich (teorema Matiyesevich menjawab masalah kesepuluh Hilbert, dan masalah Turing's Halting menjawab generalisasi masalah kesepuluh Hilbert, yaitu Entscheidungsproblem); tetapi di sisi lain, tidak ada masalah yang tidak dapat diputuskan dalam NP menurut definisi NP (decidable and verifiable).

Dengan kata lain, DEP tidak dalam NP, atau DEP dalam NP. Keduanya menyangkut definisi NP.

Jika DEP tidak dalam NP, itu berarti masalah dalam NP (NDTM ＝ Mesin Turing NonDeterminstic) dapat di decidable dan diverifikasi, artinya kita menerima P = NP (NDTM).

Jika DEP dalam NP, maka NP (NTM ＝ Non Turing Machine) mengandung decidable dan undecidable, jelas decidable dapat diverifikasi, oleh karena itu masalahnya adalah apakah undecidable dapat diverifikasi? Bahkan, itu adalah masalah P vs NP yang terkenal. Tentu saja, tidak dapat dipastikan tidak dapat diverifikasi, sehingga NP sesuai dengan NTM (Non Turing Machine) dan bukan NDTM (NonDeterminstic Turing Machine).

Pergi pada premis DEP adalah dalam NP (NTM), kami berpikir bahwa NP (NTM) adalah Masalah Nondeterministic (tidak dapat dipastikan), dan definisi saat ini dari NP (NDTM, decidable dan dapat diverifikasi) telah kehilangan nondeterminism ini (tidak dapat ditentukan), jadi kami pikir itu perlu dipertanyakan.

Kami berpikir bahwa dilema yang Anda ajukan tentang persamaan Diophantine sangat signifikan, karena mengungkapkan sesuatu yang tidak normal dalam definisi NP saat ini: - Masalah dikatakan dalam NP jika dan hanya jika ada verifikasi untuk masalah yang dieksekusi dalam polinomial waktu.

Mengenai definisi NP, dapat ditelusuri ke 60-an, di mana sejumlah besar masalah yang berlaku dan signifikan ditemukan dimana tidak ada algoritma polinom dapat ditemukan untuk menyelesaikannya, untuk mengenali masalah ini dari masalah yang dapat dipecahkan dalam waktu Polinomial. (P), konsep NP dikeluarkan.

Namun, definisi NP saat ini didefinisikan sebagai dapat diverifikasi dalam waktu polinomial membingungkan NP dengan P, karena masalah dalam P juga dapat diverifikasi dalam waktu polinomial. Dengan kata lain, definisi tersebut mengarah pada hilangnya esensi NP, «nondeterminisme». Akibatnya, ini menyebabkan ambiguitas serius dalam memahami NP, misalnya, dilema Anda: secara alami masalah persamaan Diophantine tidak dapat diputuskan; tetapi dengan definisi NP, itu dapat ditentukan, ...

Menurut pendapat kami, kesulitan dalam memecahkan «P versus NP» pertama-tama terletak pada tingkat kognisi, jadi jika kita berharap untuk mendapatkan wawasan tentang «P versus NP», pertama-tama kita perlu bertanya: Apa itu NP?