Definisi PTAS vs. FPTAS

Dari apa yang saya baca di preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

Ini adalah Definisi PTAS :

Skema aproksimasi waktu polinomial ( PTAS ) untuk masalah adalah skema aproksimasi yang kompleksitas waktunya polinomial dalam ukuran input.$X$

dan definisi FPTAS

Skema pendekatan waktu polinomial sepenuhnya ( FPTAS ) untuk masalah adalah skema aproksimasi yang kompleksitas waktunya polinomial dalam ukuran input dan juga polinomial dalam 1 / .$X$$\epsilon$

Kemudian penulis berkata:

Oleh karena itu, untuk PTAS akan dapat diterima untuk memiliki kompleksitas waktu yang sebanding dengan manaadalah ukuran input, meskipun kompleksitas waktu ini eksponensial dalam . FPTAS tidak dapat memiliki kompleksitas waktu yang tumbuh secara eksponensial dalam tetapi kompleksitas waktu yang sebanding dengan akan baik-baik saja. Sehubungan dengan perkiraan kasus terburuk, FPTAS adalah hasil terkuat yang bisa kita peroleh untuk masalah NP-hard. | Saya | 1 / ϵ 1 / ϵ | Saya | 8 / ϵ $|I|^{1/\epsilon}$$|I|$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$|I|^8/\epsilon^3$

Kemudian ia menyarankan gambar berikut untuk menggambarkan hubungan antara kelas masalah:

Ini pertanyaan saya:

1. Dari definisi PTAS dan FPTAS , bagaimana penulis menyimpulkan bahwa FPTAS tidak dapat memiliki kompleksitas waktu yang tumbuh secara eksponensial dalam ? dan apa bedanya jika memiliki kompleksitas waktu seperti itu?$1/\epsilon$

2. Kompleksitas waktu seperti dapat diterima untuk FPTAS tetapi tidak untuk PTAS , lalu mengapa FPTAS dianggap sebagai bagian dari PTAS ?$(n+1/\epsilon)^3$

3. Apa yang dia maksud dengan: FPTAS adalah hasil terkuat yang bisa kita dapatkan untuk masalah NP-hard.

4. Secara agregat saya ingin tahu apa arti sebenarnya dari konsep-konsep ini dan, apa sifat-sifatnya yang berbeda.

Terima kasih sebelumnya.

Biarkan saya menjawab pertanyaan Anda secara berurutan:

1. Menurut definisi, suatu masalah memiliki FPTAS jika ada algoritma yang pada contoh panjang memberikan -pendekatan dan berjalan dalam polinomial waktu dalam dan , yaitu untuk beberapa konstanta . Waktu berjalan dari tidak milik untuk setiap . Algoritme yang waktu operasinya lebih baik daripada algoritma yang waktu operasinya hanya dijamin , karena ketergantungan pada$n$$1+\epsilon$$n$$1/\epsilon$$O((n/\epsilon)^C)$$C \geq 0$$2^{1/\epsilon}$$O((n/\epsilon)^C)$$C$
   $O((n/\epsilon)^C)$$O(n^C e^{D/\epsilon})$$\epsilon$lebih baik untuk algoritma pertama. Selanjutnya, untuk setiap , kita dapat menemukan aproksimasi dalam waktu polinomial menggunakan algoritma pertama tetapi tidak menggunakan yang kedua (setidaknya tidak dengan jaminan yang diberikan).$E$$1+1/n^E$

2. Masalah di mana aproksimasi dapat ditemukan dalam waktu sudah pasti ada di PTAS, karena untuk setiap ini adalah (olahraga) dan polinomial dalam .$1+\epsilon$$(n+1/\epsilon)^3$$\epsilon$$O(n^3)$$n$

3. Apa yang penulis maksudkan di sini adalah bahwa karena masalah optimasi NP-hard tidak dapat dipecahkan secara tepat dalam waktu polinomial, yang terbaik yang dapat kita harapkan adalah untuk itu menjadi diperkirakan dalam waktu polinomial, dan lebih jauh lagi dengan ketergantungan yang baik pada . Di antara kelas kompleksitas umum, FPTAS memberikan jaminan terkuat pada ketergantungan pada . Namun dalam praktiknya kadang-kadang kita mendapatkan jaminan yang lebih baik: waktu yang berjalan adalah polinomial dalam dan dalam . Jadi tidak sepenuhnya benar bahwa FPTAS adalah hasil terkuat yang mungkin; itu hanya hasil terkuat di antara opsi PTAS, FPTAS, P. Jika kami membuat LPTAS kelas baru (sesuai dengan polinomial waktu dalam$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$n$$\log(1/\epsilon)$$n$dan di ), maka itu akan menjadi jaminan yang lebih kuat.$\log(1/\epsilon)$

4. Diberikan masalah optimasi NP-hard, itu tidak dapat diselesaikan tepat dalam waktu polinomial; yang terbaik yang bisa diharapkan adalah memperkirakannya secara efisien. Beberapa masalah NP-hard untuk mendekati beberapa konstan . Bagi yang lain, adalah mungkin untuk memperkirakan masalah secara sewenang-wenang dalam waktu polinomial, dan masalah-masalah ini memiliki PTAS dan juga milik kelas PTAS. Mungkin -aproximation membutuhkan waktu yang proporsional dengan , jadi kami hanya dapat menerapkan ini secara efisien untuk konstanta . Jika masalahnya memiliki FPTAS (dan juga milik FPTAS kelas), maka kita tahu bahwa ketergantungan pada hanya polinomial, sehingga kita dapat memperkirakan secara efisien hingga dalam$C>1$$1+\epsilon$$e^{1/\epsilon}$$\epsilon$$\epsilon$$1+1/n^C$untuk setiap .$C$

Biarkan ukuran instance menjadi . Perbedaan antara PTAS dan FPTAS adalah bahwa, dalam adalah konstanta tetap, sehingga dapat diperlakukan sebagai konstanta. Itulah sebabnya waktu berjalan seperti masih polinomial dalam ukuran instance (juga dalam ukuran input karena adalah konstanta tetap). Dalam FPTAS, tidak diperbaiki. Skema aproksimasi harus polinomial dalam dan juga (yaitu, seperti dalam ). Waktu berjalan sepertiϵ n 1 / ϵ n ϵ ϵ 1 / ϵ n p o l y ( n , 1 / ϵ ) n 4 ( 1 / ϵ ) 3 + ( 1 / ϵ ) 8 n 1 / ϵ n 1 /$|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$jelas bukan polinomial dalam dan . Karenanya skema perkiraan semacam itu adalah PTAS tetapi bukan FPTAS.$n$$1/\epsilon$