Cari

9

Biarkan menjadi bahasa dari semua rumus CNF , sehingga setidaknya $L_\epsilon$ $2$ $\varphi$ dariklausadapat dipenuhi. $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ $\varphi$

Saya perlu membuktikan bahwa ada st adalah untuk . $\epsilon'$ $L_\epsilon$ $\mathsf{NP}$ $\epsilon<\epsilon'$

Kita tahu bahwa dapat mendekati $\text{Max}2\text{Sat}$ sebelum klausa daripengurangan. Bagaimana saya menyelesaikan ini? $\frac{55}{56}$ $\text{Max}3\text{Sat}$

complexity-theory satisfiability approximation

— Joni
sumber

8

Dalam makalah yang terkenal, Håstad menunjukkan bahwa itu adalah NP-keras untuk MAX2SAT perkiraan yang lebih baik dari . Ini berarti kemungkinan yang adalah NP-keras untuk membedakan kasus yang satisfiable dan contoh yang satisfiable, untuk beberapa . Sekarang bayangkan melapisi sebuah contoh sehingga menjadi sebuah -fraction dari contoh baru, sisanya dari yang persis -satisfiable (mengatakan itu terdiri dari kelompok klausul dalam bentuk $21/22$ $\leq \alpha$ $\geq (22/21) \alpha$ $\alpha \geq 1/2$ $p$ $1/2$ ). Angka sekarang menjadi dan . Jumlah terakhir ini dapat dibuat sebagai dekat dengan seperti yang kita inginkan. $a \land \lnot a$ $1/2 + p (\alpha - 1/2)$ $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$ $1/2$

— Yuval Filmus
sumber

Apakah metode Anda berfungsi ketika ε adalah bilangan real yang arbitrer (tetapi cukup kecil)? Saya tidak tahu bagaimana memilih jumlah klausa yang sesuai untuk digunakan untuk pelapisan kecuali saya mengasumsikan sesuatu tentang ε. (Perhatikan bahwa ε bukan bagian dari input, dan oleh karena itu didefinisikan dengan baik untuk mempertimbangkan bilangan real ε.)

— Tsuyoshi Ito

Di situlah kesenjangan antara

dan

dapat berguna. Dengan asumsi

rasional, ambil

rasional , dan Anda harus melakukannya dengan baik.

1 / 2 + p (α - 1 / 2)

$1/2+p(\alpha-1/2)$

1 / 2 + p ((22 / 21) α - 1 / 2)

$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$

α

$\alpha$

p

$p$

— Yuval Filmus

Aha, entah bagaimana saya berpikir bahwa metode itu tidak berhasil ketika saya mencobanya pertama kali, tetapi sekarang saya melihat cara kerjanya. Terima kasih!

— Tsuyoshi Ito

5

Jika Anda tahu bahwa ε adalah bilangan rasional, maka Anda tidak perlu tidak terduga untuk Max-2-SAT untuk membuktikan pernyataan Anda. Bukti khas NP-hardness dari Max-2-SAT (misalnya, yang ada di buku teks Computational Complexity oleh Papadimitriou) sebenarnya membuktikan NP-kelengkapan L _1/5 . Untuk membuktikan NP-kekerasan L _ε untuk positif rasional nomor ε <1/5, kita dapat mengurangi L _1/5 untuk L _ε sebagai berikut: diberikan 2CNF rumus φ (contoh untuk L _1/5 ), biarkan m menjadi jumlah klausa di dalamnya. Biarkan r dans menjadi bilangan bulat positif sehingga (1 / 5− ε ) mr = 2 ε s berlaku. Kemudian membangun formula 2CNF (contoh untuk L _ε ) dengan mengulangi φ untuk r kali dan menambahkan s pasang bertentangan klausa. Perhitungan sederhana menunjukkan bahwa ini memang pengurangan dari L _1/5 ke L _ε .

Pengurangan ini jelas hanya berfungsi jika ε rasional, karena jika r dan s tidak dapat dianggap sebagai bilangan bulat. Kasus umum di mana ε belum tentu rasional tampaknya memerlukan ketidakmungkinan, seperti yang ditulis Yuval Filmus dalam jawabannya.

— Tsuyoshi Ito
sumber