Bagaimana membuktikan bahwa perkalian matriks dua matriks 2x2 tidak dapat dilakukan dalam kurang dari 7 perkalian?

Dalam perkalian matriks Strassen, kami menyatakan satu fakta aneh (setidaknya bagi saya) bahwa perkalian matriks dua 2 x 2 membutuhkan 7 perkalian.

Pertanyaan: Bagaimana cara membuktikan bahwa tidak mungkin untuk menggandakan dua matriks 2 x 2 dalam 6 perkalian?

Harap dicatat bahwa matriks melebihi bilangan bulat.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Kompleksitas
sumber

Ada algoritma penggandaan matriks lain yang bisa lebih cepat. Artikel web ini dari kelas Stanford CME 323 memberikan rincian tentang algoritma Strassen, perkalian Matriks: Algoritma Strassen . Ada topik Wikipedia, algoritma Strassen yang masuk ke detail dan memiliki tautan ke informasi tambahan.

— Richard Chambers

@RichardChambers Perhatikan bahwa algoritma Strassen memiliki perkalian. Tampaknya masuk akal bagi saya bahwa batas bawah ini benar.

7

$7$

— Stella Biderman

Seperti kata pertanyaan ini salah. Ada banyak matriks yang bisa dikalikan dengan perkalian. Anda bermaksud meminta bukti bahwa, dalam kasus terburuk, dibutuhkan 7 alias ada beberapa matriks yang membutuhkan 7

6

$6$

— Stella Biderman

@StellaBiderman ya saya melihat bahwa Strassen memiliki 7 perkalian. Saya tidak melihat yang lain, lebih cepat dan algoritma dengan kompleksitas yang lebih rendah. Dari apa yang saya tahu mereka menggunakan pendekatan sub-matriks yang sama dengan Strassen tetapi saya tidak yakin. Saya baru saja menambahkan beberapa informasi tambahan tentang Strassen secara khusus.

— Richard Chambers

Tampaknya ada sesuatu yang hilang dari pertanyaan Anda. Saya dapat dengan mudah memberikan algoritma yang dapat melipatgandakan setidaknya beberapa matriks dengan 0 perkalian. Mungkin ada kendala yang tidak Anda sebutkan.

— Jörg W Mittag

Jawaban:

Ini adalah hasil klasik dari Winograd: Pada perkalian dari matriks 2x2 .

Strassen menunjukkan bahwa eksponen perkalian matriks adalah sama dengan eksponen pangkat tensor tensor perkalian matriks: kompleksitas aljabar perkalian matriks adalah jika pangkat pangkat tensor dari (tensor perkalian matriks yang sesuai dengan perkalian dua matriks) adalah . Algoritma Strassen menggunakan arah mudah untuk menyimpulkan dari batas atas . $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

Hasil Winograd menyiratkan bahwa . Landsberg menunjukkan bahwa peringkat perbatasan juga 7, dan Bläser et al. baru-baru ini diperluas untuk mendukung pangkat dan pangkat dukungan perbatasan. Peringkat perbatasan dan peringkat dukungan adalah gagasan peringkat yang lebih lemah (= lebih kecil) yang telah digunakan (dalam kasus peringkat perbatasan) atau diusulkan (dalam kasus peringkat dukungan) dalam algoritma multiplikasi matriks cepat. $R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— Yuval Filmus
sumber

Anda dapat menemukan hasilnya di:

S.Winograd, Pada penggandaan 2 × 2 matriks , Aljabar Linier dan Appl. 4 (1971), 381–388, MR0297115 (45: 6173).

— Stella Biderman
sumber