Implikasi dari unprovability dari

Saya membaca " Apakah P Versus NP Secara Independen? " Tetapi saya bingung.

Dipercaya secara luas dalam teori kompleksitas bahwa . Pertanyaan saya adalah bagaimana jika ini tidak dapat dibuktikan (katakanlah di ). (Mari kita asumsikan bahwa kita hanya mengetahui bahwa independen dari tetapi tidak ada informasi lebih lanjut tentang bagaimana ini terbukti.) Z F C P ≠ N P Z F $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$

Apa yang akan menjadi implikasi dari pernyataan ini? Lebih spesifik,

kekerasan

Dengan asumsi bahwa menangkap algoritma yang efisien ( tesis Cobham-Edmonds ) dan , kami membuktikan hasil menyiratkan bahwa mereka adalah di luar jangkauan algoritma efisien kami saat ini. Jika kita membuktikan pemisahan, berarti bahwa tidak ada algoritma waktu polinomial. Tetapi apa artinya hasil jika pemisahan tidak dapat dibuktikan? Apa yang akan terjadi pada hasil ini?P ≠ N P N P - h a r d n e s s N P - h a r d n e s s N P - h a r d n e s $\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$$\mathsf{NP\text{-}hardness}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

algoritma yang efisien

Apakah ketidakterpisahan pemisahan berarti kita perlu mengubah definisi kita tentang algoritma yang efisien?

Pertanyaan Anda mungkin lebih baik diungkapkan, "Bagaimana teori kompleksitas akan dipengaruhi oleh penemuan bukti bahwa P = NP secara formal independen dari beberapa sistem aksiomatik yang kuat?"

Agak sulit untuk menjawab pertanyaan ini secara abstrak, yaitu, dengan tidak adanya melihat rincian buktinya. Seperti yang disebutkan Aaronson dalam makalahnya, membuktikan independensi P = NP akan membutuhkan ide-ide baru yang radikal, bukan hanya tentang teori kompleksitas, tetapi juga tentang bagaimana membuktikan pernyataan independensi. Bagaimana kita dapat memprediksi konsekuensi dari terobosan radikal yang bentuknya saat ini kita bahkan tidak bisa menebaknya?

Meski begitu, ada beberapa pengamatan yang bisa kita lakukan. Setelah bukti kemandirian hipotesis kontinum dari ZFC (dan kemudian dari ZFC + kardinal besar), sejumlah besar orang datang ke sudut pandang bahwa hipotesis kontinum tidak benar atau salah . Kita dapat bertanya apakah orang juga akan sampai pada kesimpulan bahwa P = NP adalah "tidak benar atau salah" setelah bukti independensi (demi argumen, mari kita misalkan P = NP terbukti independen dari ZFC + besar aksioma kardinal). Dugaan saya tidak. Aaronson pada dasarnya mengatakan bahwa dia tidak akan melakukannya. Teorema ketidaklengkapan ke-2 Goedel tidak membuat siapa pun yang saya tahu berpendapat bahwa "ZFC konsisten" tidak benar atau salah.$\ne$

Kita juga dapat bertanya apakah orang akan menafsirkan keadaan ini dengan mengatakan bahwa ada sesuatu yang "salah" dengan definisi P dan NP kita. Mungkin kita kemudian harus mengulang dasar-dasar teori kompleksitas dengan definisi baru yang lebih mudah dikerjakan? Pada titik ini saya pikir kita berada di dunia spekulasi liar dan tidak berbuah, di mana kita mencoba untuk menyeberangi jembatan yang belum kita dapatkan dan mencoba untuk memperbaiki hal-hal yang belum rusak. Selain itu, bahkan tidak jelas apa pun akan terjadi"rusak" dalam skenario ini. Para teoris set sangat senang dengan asumsi aksioma kardinal besar yang mereka rasa nyaman. Demikian pula, para ahli teori kompleksitas mungkin juga, dalam dunia hipotetis masa depan ini, sangat senang mengasumsikan setiap aksioma pemisahan yang mereka yakini benar, meskipun mereka terbukti tidak dapat dibuktikan.

Singkatnya, tidak banyak yang mengikuti secara logis dari bukti independensi P = NP. Wajah teori kompleksitas mungkin berubah secara radikal mengingat terobosan fantastis seperti itu, tetapi kita hanya harus menunggu dan melihat seperti apa terobosan itu.

Ini adalah pertanyaan yang valid, meskipun mungkin sedikit sayangnya diutarakan. Jawaban terbaik yang bisa saya berikan adalah referensi ini:

Scott Aaronson: Apakah P versus NP secara independen independen . Buletin Asosiasi Eropa untuk Ilmu Komputer Teoritis, 2003, vol. 81, halaman 109-136.

Abstrak: Ini adalah survei tentang pertanyaan judul, ditulis untuk orang-orang yang (seperti penulis) melihat logika sebagai melarang, esoteris, dan jauh dari masalah yang biasa mereka alami. Dimulai dengan kursus kilat tentang teori himpunan Zermelo Fraenkel, ia membahas independensi oracle; bukti alami; hasil kemerdekaan Razborov, Raz, DeMillo-Lipton, Sazanov, dan lainnya; dan hambatan untuk membuktikan P vs NP independen dari teori logis yang kuat. Itu berakhir dengan beberapa pemikiran filosofis tentang kapan seseorang harus mengharapkan pertanyaan matematis untuk mendapatkan jawaban pasti.

$[ZFC][1]$. Ini hanya berarti bahwa teori tersebut tidak dapat membuktikan pernyataan maupun negasinya. Itu tidak berarti bahwa pernyataan itu tidak memiliki nilai kebenaran, itu tidak berarti bahwa kita tidak dapat mengetahui nilai kebenaran dari pernyataan itu, kita mungkin dapat menambahkan aksioma wajar yang baru yang akan membuat teori cukup kuat untuk dapat untuk membuktikan pernyataan atau negasinya. Pada akhirnya, provabilitas dalam teori adalah konsep abstrak formal. Ini terkait dengan pengalaman dunia nyata kita hanya sebagai model.

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$$\Pi_1$Topologi via Logika ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$, dan cari posting di milis FOM .

Sebagaimana dibuktikan dalam tulisan ini:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

Jika P! = NP dapat ditunjukkan tidak bergantung pada Aritmatika Peano, maka NP memiliki batas atas waktu deterministik sangat polinomial yang sangat dekat. Khususnya, dalam kasus seperti itu, ada algoritma DTIME (n ^ 1og * (n)) yang menghitung SAT dengan benar pada banyak interval panjang input yang tak terhingga.

Hanya beberapa pemikiran bertele-tele tentang ini. Jangan ragu untuk mengkritik.

Misalkan Q = [tidak bisa membuktikan (P = NP) dan tidak bisa membuktikan (P / = NP)]. Misalkan Q untuk suatu kontradiksi. Saya juga akan menganggap bahwa semua penemuan yang diketahui tentang P vs NP masih layak. Secara khusus, semua masalah NP setara dalam arti bahwa jika Anda dapat menyelesaikan salah satu dari mereka dalam waktu polinomial, Anda dapat menyelesaikan semua yang lain dalam waktu polinomial. Jadi biarkan W menjadi masalah lengkap NP; W sama mewakili semua masalah dalam NP. Karena Q, seseorang tidak dapat memperoleh algotithm A untuk menyelesaikan W dalam waktu polinomial. Kalau tidak, kita memiliki bukti bahwa P = NP, yang bertentangan dengan Q (1) (*). Perhatikan bahwa semua algoritma dapat dihitung berdasarkan definisi. Jadi mengatakan bahwa A tidak dapat eksis menyiratkan bahwa tidak ada cara untuk menghitung W dalam waktu polinomial. Tapi ini bertentangan dengan Q (2). Kita dibiarkan menolak (1) atau menolak (2). Kedua kasus tersebut mengarah pada sebuah kondradiksi. Jadi Q adalah kontradiksi,

(*) Anda mungkin berkata, "Aha! A mungkin ada, tetapi kami tidak dapat menemukannya". Nah, jika A ada, kita dapat menghitung melalui semua program untuk menemukan A dengan menyebutkan dari program yang lebih kecil ke program yang lebih besar, dimulai dengan program kosong. A harus terbatas karena ini adalah algoritma, jadi jika A ada, maka program enumerasi untuk menemukannya harus diakhiri.