Apakah ada aplikasi teknik dalam analisis nyata untuk ilmu komputer teoretis?

18

Saya telah mencari jauh untuk aplikasi semacam itu dan sebagian besar muncul pendek. Saya dapat menemukan banyak aplikasi topologi dan struktur serupa pada set yang dapat dihitung (atau tidak terhitung), tetapi jarang saya benar-benar menemukan set yang tidak terhitung sebagai objek studi oleh para ilmuwan komputer, dan karena itu mengarah pada kebutuhan akan teknik dari analisis.

co.combinatorics big-picture

— robinhoode
sumber

Menurut apa yang dikatakan teman-teman saya, analisis nyata diperlukan dalam teori informasi. Namun, jika Anda mengabaikan dasar-dasarnya sepertinya tidak populer di tcs (minimal bagi saya).

— singhsumit

Teori informasi sudah cukup bagi saya! Jika Anda dapat memberikan contoh tertentu, saya akan menandai respons Anda sebagai jawabannya ..

— robinhoode

1

Ada juga pemrosesan sinyal, grafik, dan apa pun yang Anda miliki. Apa jenis teknik yang Anda cari?

— Shir

4

Contoh (tidak yakin apakah itu yang Anda cari) dari Teori Informasi:

I (X; Y) \geq 0

$I(X;Y)\geq 0$ , yaitu informasi timbal balik dari dua variabel acak

X, Y

$X,Y$ adalah non-negatif. Ini mengikuti langsung dari cekung dari

l o g

$log$ fungsi dan ketidaksetaraan Jensen. (lihat Elemen-elemen Teori Informasi, oleh Cover dan Thomas, halaman 28)

— Shir

Apakah Anda juga tertarik dengan aplikasi analisis kompleks?

— Raphael

18

Berikut adalah dua kursus terkait:

Metode analitik dalam kombinatorik dan CS oleh Ehud Friedgut di University of Toronto (2009),
Metode Analitik dalam Combinatorics dan Ilmu Komputer oleh Irit Dinur dan Ehud Friedgut di Hebrew University (2006).

Periksa juga catatan Ryan O'Donnell untuk bukunya:

Analisis Fungsi Boolean oleh Ryan O'Donnell.

dan tautan di sudut kanan atas.

— Kaveh
sumber

1

Catatan kuliah ini luar biasa! Pos bagus!

— Nicholas Mancuso

11

Lihat buku Matematika Beton - Yayasan Ilmu Komputer oleh Graham, Knuth dan Patashnik. Dalam Bab 9 mereka menjelaskan rumus penjumlahan Euler-Maclaurin . Ini adalah teknik yang memungkinkan Anda untuk memperkirakan jumlah terbatas dengan menggunakan integral. Dalam bab yang sama, halaman 466, mereka menggunakan teknik ini untuk mendekati angka harmonik (yang banyak muncul di beberapa area TCS). Itu terjadi pada saya satu kali saya harus menggunakannya, dan akhirnya menyelesaikan integral menggunakan teknik pendekatan asimptotik untuk persamaan diferensial!

— Marcos Villagra
sumber

Tautan yang bagus, tetapi bukankah ini analisis yang lebih numerik?

— Huck Bennett

ini sepenuhnya analitis.

— Marcos Villagra

9

Ada teori batas urutan grafik yang padat, yang dikembangkan dalam karya Lovasz dan B. Szegedy. Ini memiliki implikasi untuk masalah pengujian properti tertentu pada grafik. Lihat http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf . Pada dasarnya idenya adalah bahwa mereka menentukan metrik yang sesuai pada grafik dan gagasan mengambil batas urutan grafik, dan kemudian mereka menunjukkan bahwa properti grafik dapat diuji jika fungsi yang memetakan grafik ke jarak edit ke properti kontinu dalam ruang metrik pada grafik yang ditentukan.

Dan tentu saja ada magnum opus Flajolet dan Sedgewick yang didedikasikan sepenuhnya untuk menggunakan metode analitik untuk analisis asimtotik dari struktur kombinatorial, termasuk analisis algoritma. Ini sebagian besar menghasilkan trik fungsi yang mengandalkan analisis yang kompleks

— Sasho Nikolov
sumber

2

Patut disebutkan bahwa teori batas grafik dan, lebih luas lagi, analisis grafik adalah topik yang sangat panas, lihat misalnya math.ias.edu/cga

— Marcin Kotowski

pointer bagus @MarcinKotowski. senang memiliki laci lovasz di area :)

— Sasho Nikolov

8

Seperti yang disebutkan Shir, ketidaksetaraan Jensen selalu muncul. Terutama dalam membuktikan batas dalam masalah kombinatorial. Sebagai contoh pertimbangkan masalah berikut:

Diberikan keluarga dari himpunan bagian dari , grafik perpotongannya didefinisikan oleh jika dan hanya jika . Misalkan ukuran set rata-rata adalah dan ukuran rata-rata persimpangan berpasangan paling banyak k. Menunjukkan bahwa $S_1, \ldots, S_n$ $V = \{1, \ldots, n\}$ $G = (V, E)$ $\{i, j\} \in E$ $S_i \cap S_j \neq \emptyset$ $r$ . $|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

Bukti:

Mari kita hitung pasangan sehingga dan . Mari kita perbaiki dulu , kita melihat bahwa ada paling banyak pilihan seperti itu. Mengambil semua nilai juga, kita memiliki batas atas $(x, (S_i, S_j))$ $x \in V$ $x \in S_i \cap S_j$ $(S_i, S_j)$ $k$ $(S_i, S_j)$ . Kami sekarang memperbaiki x. Sangat mudah untuk melihat bahwa setiapmemiliki $k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$ $x$ cara untuk memilih. Dengan ketidaksetaraan Jensen kita memiliki: $\binom{d(x)}{2}$ $(S_i, S_j)$

. $n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$

Kami akhirnya menggabungkan istilah untuk memiliki . $\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

Meskipun ini sedikit lebih "matematis" daripada CS, ini berfungsi untuk menunjukkan bagaimana alat untuk fungsi cembung dapat digunakan - dalam optimasi kombinatorial, khususnya.

— Nicholas Mancuso
sumber

note jensens ketidaksetaraan tampaknya sangat terkait dengan erd "os bunga matahari lemma [versi diskrit terlihat di sirkuit batas bawah] meskipun saya tidak berpikir saya pernah melihat yang terbukti di mana saja.

— vzn

7

bagaimana dengan Perhitungan Efisien dengan Dedekind Reals oleh Andrej Bauer dan Paul Taylor.

— vzn
sumber

2

Saya sangat suka membaca tentang pekerjaan dalam hal ini - perhitungan bilangan real yang tepat menawarkan perspektif yang menarik tentang apa set yang tidak terhitung, serta beberapa algoritma yang mengejutkan.

— Neel Krishnaswami

... oleh Andrej Bauer dan Paul Taylor , tolong.

— Andrej Bauer

2

Oh hei, saya bisa mengedit posting. Tetap.

— Andrej Bauer

berdiri dikoreksi. digunakan penulis yang tercantum di atas kertas. mungkin Anda harus menempatkannya sebagai rekan penulis makalah

— vzn

1

Itu tergantung pada apakah teori yang Anda coba buktikan itu klasik atau konstruktif. Secara konstruktif, Anda hanya menggunakan argumen diagonalisasi standar untuk menunjukkan bahwa mereka tidak terhitung. Karena bilangan real harus direalisasikan oleh proses yang dapat dihitung, dari POV klasik bukti konstruktif memberi tahu kita bahwa masalah penghentian tidak dapat ditentukan. Ini adalah bagian dari apa yang saya maksud ketika saya mengatakan bahwa ia menawarkan perspektif yang menarik tentang apa set yang tak terhitung jumlahnya ..!

— Neel Krishnaswami

3

Teknik yang sangat umum dan sering berguna ketika mendekati masalah dalam matematika diskrit adalah menanamkannya dalam domain kontinu, karena ini memungkinkan pilihan alat matematika yang lebih kaya untuk digunakan. Jadi, mengoreksi jawaban saya: selain bidang yang analisis nyata akan muncul secara alami di (grafik, pemrosesan sinyal dan bidang lain yang meniru atau berinteraksi dengan dunia fisik), itu muncul pada dasarnya di mana-mana, dan di tempat yang tidak - saya Dugaan itu akan terjadi di masa depan.

Beberapa contoh cepat:

Kode koreksi kesalahan: Reed solomon menggunakan polinomial. Beberapa batasan pada kode melibatkan melihat fungsi indikator dari kode sebagai fungsi dari kubus diskrit ke real, sehingga menerapkan transformasi Fourier dan teknik lainnya.
Metode probabilistik - mengukur teorema konsentrasi (alat analitik) digunakan untuk menunjukkan berbagai sifat grafik acak (misalnya bilangan kromatik). Lihat buku Alon and Spencer.
$v$ $e$ $\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$
$k-1$ $k$ $k-1$

— Shir
sumber

Contoh konkret, tolong?

— Marcin Kotowski

Saya menambahkan 4 contoh, meskipun saya pikir ada begitu banyak dari mereka, kita benar-benar bisa bekerja sepanjang hari.

— Shir

2

Jika saya mengingat kembali dengan benar teorema Noga Alon tentang membelah kalung menggunakan versi masalah yang berkelanjutan.

Lihat: http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

Ada juga yang menyebutkan hal itu di halaman wiki di sini: http://en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

— Aryabhata
sumber

2

Bidang ukuran terbatas sumber daya berlaku ukuran Lebesgue untuk kelas kompleksitas. Idenya adalah untuk memperoleh pemisahan antara kelas kompleksitas dengan berbicara tentang "ukuran" relatif dari set ini.

— mikero
sumber

2

Ada makalah yang indah, Quantum One-Way Communication secara eksponensial lebih kuat daripada komunikasi klasik oleh Boaz Klartag & Oded Regev, yang menggunakan sejumlah besar teknik dari analisis nyata yang tidak biasa dalam TCS, termasuk transformasi Radon, harmonik bola & hypercontractive ketidaksetaraan pada unit sphere (non-diskrit)

— pengguna887
sumber

1

Batas Bawah Eksponensial untuk Ukuran Sirkuit Nyata Monoton (1997) oleh Haken, Cook

— ay
sumber

3

mengapa ini jawaban terpisah dari yang pertama? Kenapa tidak mengedit saja?

— Artem Kaznatcheev

area aplikasi yang berbeda

— vzn

1

Saya selalu menemukan koneksi antara bahasa reguler / bebas konteks dan teori fungsi (seri formal) cukup menarik: itulah sebabnya orang Prancis menyebut kelas bahasa ini "rasional" dan "aljabar". Ini juga menunjukkan koneksi ke geometri fraktal. Dalam nada yang sama, misalnya, automata terbatas mungkin mendefinisikan bahasa pada kata-kata tak terbatas yang memiliki sifat topologi yang bagus ketika dilengkapi dengan topologi metrik standar.

Koneksi lain mungkin adalah teori "set convolutions" yang dikembangkan baru-baru ini yang memungkinkan untuk mempercepat beberapa algoritma yang mirip dengan apa yang dikenal dari transformasi Fourier. Saya berasumsi bahwa ini adalah setidaknya "kesamaan inspirasi".

— Henning Fernau
sumber