Grafik penguraian genus satu

Grafik planar adalah -gratis. Grafik tersebut dapat didekomposisi menjadi komponen tri-terhubung, yang dikenal sebagai komponen planar atau . $K_{3,3}$ $K_5$

Apakah ada dekomposisi grafik genus satu yang "bagus"?

Dalam karya seminal mereka pada grafik anak di bawah umur, Roberston dan Seymour menunjukkan bahwa setiap grafik kecil-bebas dapat diuraikan menjadi grafik "klik-jumlah" dari grafik "hampir planar". Ini, tentu saja, berlaku untuk grafik gen-terikat juga. Saya mencari dekomposisi khusus untuk grafik genus satu, untuk lebih memahami sifat struktural mereka.

— Siwa Kintali
sumber

Ini mungkin berguna: arxiv.org/abs/math/0411488

— Jeffε

Ah, terima kasih Jeff. Terkait dengan pertanyaan itu, saya bingung bagaimana cara menanamkan

pada torus dan saya belum bisa mengetahuinya.

K_{7}

$K_7$

— John Moeller

Ada hasil dekomposisi yang lebih kuat untuk keluarga grafik yang mengecualikan grafik persimpangan tunggal sebagai minor (yaitu grafik yang dapat ditarik di pesawat dengan titik tunggal di mana ujungnya melintang). Grafik semacam itu dapat didekomposisi menjadi kelompok-kelompok grafik planar dan grafik konstan-treewidth (lihat misalnya "Algoritma pendekatan untuk kelas grafik tidak termasuk grafik persimpangan tunggal sebagai anak di bawah umur"). Jika ada grafik persimpangan tunggal di set obstruksi untuk torus, ini akan membantu Anda. (Saya tidak yakin ada - dan mungkin ada alasan sederhana tidak mungkin ada.)

— Bart Jansen

Ada alasan sederhana mengapa tidak mungkin ada obstruksi satu arah untuk toroidalitas: setiap grafik satu persimpangan dapat ditarik pada torus, dengan mengganti persimpangan dengan pegangan kecil.

— David Eppstein

Saya pikir bahwa Robertson dan Seymour menunjukkan bahwa setiap grafik bebas-kecil dapat diuraikan menjadi grafik "klik-jumlah" dari grafik " genus yang hampir terikat ". Blok pembangun dasar bukanlah grafik planar tetapi grafik genus terikat (genus tergantung pada minor yang dikecualikan). Saya pikir grafik toroidal tidak dapat diuraikan lebih lanjut.

— Marcin Kamiński
sumber