Apakah sepasang siklus homotopik yang terpisah dalam dual memisahkan grafik?

Misalkan adalah grafik yang tertanam pada permukaan kompak genus g yang dapat diorientasikan sehingga embedding bersifat seluler. Pertimbangkan dual dari grafik G ∗ . Biarkan C 1 dan C 2 menjadi siklus terpisah dalam G ∗ yang saling homotopik dan biarkan E 1 dan E 2 menjadi set tepi yang sesuai di G masing-masing. Apakah G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) merupakan grafik yang terputus?$G$$g$$G^*$$C_1$$C_2$$G^*$$E_1$$E_2$$G$$G \setminus (E_1 \cup E_2)$

Iya. Biarkan saya menulis untuk permukaan tempat G dan G ∗ tertanam.$\Sigma$$G$$G^*$

Karena siklus dan C 2 adalah homotopic, mereka juga dalam yang sama Z 2 kelas -homology. Jadi menurut definisi, perbedaan simetris C 1 ⊕ C 2 adalah batas penyatuan beberapa himpunan bagian wajah G ∗ ; memanggil serikat ini wajah U . (Faktanya, U atau pelengkapnya Σ ∖ U harus berupa annulus, tetapi ini tidak penting.)$C_1$$C_2$$\mathbb{Z}_2$$C_1\oplus C_2$$G^*$$U$$U$$\Sigma\setminus U$

$C_1$$C_2$$C_1\oplus C_2$$C_1\cup C_2$$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$$U$$\Sigma\setminus U$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$

$G$$\Sigma$$G^*$$G\setminus (E_1\cup E_2)$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$$G\setminus (E_1\cup E_2)$

$\Sigma$