Aturan eliminasi berbasis unifikasi untuk kesetaraan

Beberapa tahun yang lalu, saya menemukan aturan kiri berikut untuk kesetaraan dalam kalkulus berurutan:

$$\frac{s \doteq t \leadsto \theta \qquad \theta(\Gamma) \vdash \theta(C)} {\Gamma, s \doteq t \vdash C}$$

Di sini, menghitung pemersatu yang paling umum untuk dan , dan kemudian menerapkan substitusi pada kesimpulan dan semua hipotesis dalam konteks .θ s t C $s \doteq t \leadsto \theta$$\theta$$s$$t$$C$$\Gamma$

Hal yang menarik tentang penyatuan ini adalah bahwa ia menyamakan menemukan substitusi untuk variabel universal (yaitu, skolem).

Namun, saya tidak ingat di mana saya membaca ini, dan bertanya-tanya apakah ada yang bisa membantu saya menemukan referensi untuk itu.

Saya sering mengaitkan hal ini dengan Aturan refleksi definisi oleh Schroeder-Heister, meskipun idenya lebih dari itu kepada Girard dan yang lainnya; aturan yang Anda cari adalah contoh tampilan pertama di Bagian 4. Namun, Anda juga memerlukan aturan yang mengatakan bahwa jika instance unifikasi tidak memuaskan, maka asumsi kesetaraan memiliki kekuatan kontradiksi.

Akun yang lebih umum telah digunakan baru-baru ini dalam banyak pekerjaan oleh Dale Miller, David Baelde, dan perusahaan (lihat, misalnya, Paling tidak dan poin tetap terbesar dalam logika linier ). Formulasi yang lebih umum - yang juga tidak berasal dari Miller et al - adalah aturannya

$${\{\theta \in {\sf csu}(t,s) \mid \theta\Gamma \vdash \theta{C} \}}\over{\Gamma, t \doteq s \vdash C}$$

di mana adalah set lengkap pemersatu - himpunan semua substitusi pemersatu dan . Anda mungkin juga lebih suka cara penulisan aturan ini yang saya sukai (lihat di sini misalnya).t ${\sf csu}(t,s)$$t$$s$

$${\forall \theta. \theta{t} = \theta{s} \longrightarrow \theta\Gamma \vdash \theta{C}}\over{\Gamma, t \doteq s \vdash C}$$

Dalam kasus apa pun, dalam suatu istilah bahasa dengan penyatuan yang dapat ditentukan di mana keberadaan pemersatu menyiratkan keberadaan pemersatu yang paling umum, memiliki salah satu dari aturan di atas dapat ditunjukkan setara dengan memiliki dua aturan ini:

$${{{\sf no~mgu}(t,s)}\over{\Gamma, t \doteq s \vdash C}} \qquad {{{\sf mgu}(t,s) = \theta \quad \theta\Gamma \vdash \theta{C}}\over{\Gamma, t \doteq s \vdash C}}$$

(PS Frank membahas ini dalam kursus pemrograman logikanya dalam kuliah 6, 7, dan 8, yang mungkin merupakan asal Anda mengingatnya.)