Variasi perbedaan yang melibatkan grafik acak

Misalkan kita memiliki grafik pada $n$ node. Kami ingin menetapkan ke setiap node baik $+1$ atau . Sebut ini sebagai konfigurasi . Jumlah yang harus kita tetapkan adalah persis (karenanya jumlah dt adalah .) Dengan konfigurasi , kita melihat setiap simpul dan menjumlahkan nilai yang diberikan kepada tetangganya, panggil ini . Kami kemudian menghitung jumlah node yang nonnegatif: $−1$$\sigma \in \{+1,−1\}^n$$+1$$s$$−1$$n−s$$\sigma$$i$$\xi_i(\sigma)$$\xi_i(\sigma)$

$$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$$ Pertanyaannya adalah: apa konfigurasi yang memaksimalkan ? Lebih penting lagi, bisakah kita memberikan batasan pada dalam hal s / n . Saya bertanya-tanya apakah masalah ini terlihat akrab bagi siapa pun, atau apakah itu dapat direduksi menjadi beberapa masalah yang diketahui dalam teori grafik. Jika ini membantu, grafik dapat dianggap acak dari tipe Erdős-Renyi (katakanlah, G (n, p) dengan probabilitas tepi p ~ (\ log n) / n , yaitu tingkat pertumbuhan rata-rata sebagai \ log n ). Petunjuk utama adalah dalam kasus di mana s / n \ in (0,1 / 2) .$\sigma$$N(\sigma)$( Max N ) / n s / n p ( log n ) / n log n s / n ∈ ( 0 , 1 / 2 $(\max N)/n$$s/n$$p ~ (\log n)/n$$\log n$$s/n \in (0,1/2)$

Anda bisa mendekati ini dengan perhitungan "metode momen kedua", mirip dengan yang saya gunakan di ambang tajam untuk masalah kepuasan kendala acak , Matematika Diskrit 285 / 1-3 (2004), 301-305.

Ketika tingkat rata-rata tumbuh seperti waktu konstan yang cukup besar , pendekatan ini sering cukup untuk menemukan secara tepat ambang kepuasan. Bisa juga menunjukkan sebagian kecil dari klausa yang dapat dipenuhi dalam contoh yang tidak memuaskan, meskipun saya belum menyelidiki itu.$\log n$

Untuk membuat masalah Anda terlihat lebih seperti masalah umum saya, Anda dapat melihatnya sebagai "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" dengan struktur grafis khusus yang mendasari klausa dalam rumus CNF. Saya tidak berpikir bahwa struktur khusus ini akan membantu dalam analisis kasus terburuk, dan karena ukuran klausa Anda tidak seragam dan set tugas "buruk" Anda growiny, Anda harus melalui perhitungan dan melihat apakah itu masih bekerja.

Biarkan saya menguraikan komentar saya. Pertama, ini mirip dengan perbedaan, tetapi tentu saja berbeda dalam beberapa hal. Dengan sistem set , perbedaan sistem adalah . Mari kita menyatakan. Definisi Anda berbeda karena Anda ingin tahu berapa banyak set positif dan perbedaan menanyakan seberapa besar dalam besarnya dalam kasus terburuk. Untuk intro cepat, mungkin catatan juru tulis saya dapat membantu. Chazelle memiliki buku bagus yang membahas banyak detail.m S 1 , ... , S m ⊆ { 1 , ... n } = [ n ] min σ : [ n ] → { ± 1 } maks j | ∑ i ∈ S j σ ( i ) | σ ( S j ) = | ∑ i ∈ S j σ ( i ) | $m$$S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$$\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$$\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$( S j ) σ ( S j$\sigma(S_j)$$\sigma(S_j)$

Untuk batas bawah probabilistik yang mudah ketika , seperti dalam komentar saya, diberikan grafik dengan deret derajat , Anda dapat memilih secara seragam secara acak dari semua urutan dengan (the tidak independen, tetapi harus dimungkinkan untuk membuktikan Chernoff terikat dalam kasus ini juga). Kami memiliki dan, dengan ikatan Chernoff, untuk beberapa konstanta . Jadi . Jadi ada beberapas > n / 2 G = ( [ n ] , E ) δ 1 , … , δ n σ s 1 σ i E [ ξ i ( σ ) ] = δ i s / n Pr [ ξ i ( σ ) < 0 ] ≤ exp ( - C δ i ( s /$s > n/2$$G = ([n], E)$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\sigma$$s$ $1$$\sigma_i$$E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$- 1 / 2) 2 ) σC E [ N ( σ ) ] ≥ n - Σ i exp ( - C δ i ( s / n - 1 / 2 ) 2$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$$C$$E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$$\sigma$ yang mencapai batas ini.

EDIT: Tampaknya Anda tertarik dengan kasing . Mari kita pilih secara acak dengan cara yang sama seperti pada paragraf sebelumnya. Menggunakan versi teorema limit sentral untuk sampling tanpa penggantian ( adalah contoh dari ukuran tanpa penggantian dari simpul dari grafik), Anda harus dapat menunjukkan bahwa berperilaku seperti Gaussian dengan mean dan varians tentang , jadi untuk beberapa C dan parameter kesalahan dari teorema limit pusat. Kita harus memilikis < n / 2 σ σ s ξ i ( σ ) δ i ( 2 s / n - 1 ) δ i Pr [ ξ i ( σ ) ≥ 0 ] = exp ( - C δ i ( 2 s / n - 1 ) 2 ) ± η ( n ) η $s < n/2$$\sigma$$\sigma$$s$$\xi_i(\sigma)$$\delta_i (2s/n - 1)$$\delta_i$$\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$$\eta(n)$n η ( n ) = o ( n ) N ( σ ) ≥ Σ i exp ( - C δ i ( 2 s / n - 1 ) 2 ) - o ( n $n\eta(n) = o(n)$, sehingga Anda dapat mengambil .$N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

Penafian: ini hanya bermakna jika konstan / kecil atau sangat dekat dengan . Juga perhitungannya agak heuristik dan tidak dilakukan dengan sangat hati-hati.δ i s / n n /$\delta_i$$s/n$$n/2$