Keberadaan "matriks warna"

Sunting: sekarang ada pertanyaan lanjutan yang terkait dengan pos ini.

---

Definisi

Biarkan $c$ dan $k$ menjadi bilangan bulat. Kami menggunakan notasi $[i] = \{1,2,...,i\}$ .

Sebuah $c \times c$ matriks $M = (m_{i,j})$ dikatakan menjadi $c$ -to- $k$ pewarna matriks jika berikut memegang:

• kami memiliki $m_{i,j} \in [k]$ untuk semua $i, j \in [c]$ ,
• untuk semua $i,j,\ell \in [c]$ dengan $i \ne j$ dan $j \ne \ell$ kami memiliki $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$ .

c $c \leadsto k$$c$$k$

---

Perhatikan bahwa elemen diagonal tidak relevan; kita hanya tertarik pada unsur-unsur non-diagonal .$M$

Perspektif alternatif berikut ini mungkin bermanfaat. Misalkan adalah himpunan elemen non-diagonal dalam baris , dan juga biarkan adalah himpunan elemen non-diagonal dalam kolom . Sekarang adalah -to- mewarnai matriks IFF untuk semua . Yaitu, baris dan kolom harus terdiri dari elemen yang berbeda (kecuali, tentu saja, di diagonal).ℓ C ( M , ℓ ) = { m i , ℓ : i ≠ ℓ } ℓ M c k R ( M , ℓ ) ⊆ [ k ] $R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$$\ell$$C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$$\ell$$M$$c$$k$ℓ ∈ [ c ] ℓ

$$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$$ $\ell \in [c]$$\ell$$\ell$

Mungkin dapat atau tidak membantu untuk mencoba menafsirkan sebagai jenis fungsi hash khusus dari hingga .[ c ] 2 [ k $M$$[c]^2$$[k]$

Contohnya

Berikut ini adalah -to- mewarnai matriks:4 [ - 2 2 1 1 1 3 - 3 1 1 1 4 4 - 1 1 1 3 2 2 - 3 2 4 2 2 4 - 2 3 4 3 4 3 - ]$6$$4$

$$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$$

Secara umum, diketahui bahwa untuk setiap kita memilikiMisalnya, dan . Untuk melihat ini, kita dapat menggunakan konstruksi berikut (misalnya, Naor & Stockmeyer 1995).( 2 $n \ge 2$20⇝66⇝

$${2n \choose n} \leadsto 2n.$$ $20 \leadsto 6$$6 \leadsto 4$

Biarkan dan biarkan . Misalkan adalah suatu bijih dari ke himpunan semua subset dari , yaitu, dan untuk semua . Untuk setiap dengan , pilih semaunya k=2nf[c]n[2n]f(i)⊆[2n]| f(i)| =nii,j∈[c]i≠jmi,j∈f(i)∖f(j)$c = {2n \choose n}$$k = 2n$$f$$[c]$$n$$[2n]$$f(i) \subseteq [2n]$$|f(i)| = n$$i$$i,j \in [c]$$i \ne j$

$$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$$

Perhatikan bahwa . Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa konstruksi memang matriks pewarnaan; khususnya, kita memiliki dan .R ( M , ℓ ) = f ( ℓ ) C ( M , ℓ ) = [ k ] ∖ f ( ℓ $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$$R(M,\ell) = f(\ell)$$C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

Pertanyaan

Apakah konstruksi di atas optimal? Dengan kata lain, apakah kita memiliki untuk setiap ?n≥

$${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$$ $n \ge 2$

Sudah diketahui secara umum bahwa konstruksi di atas ketat secara asimptotik; tentu . Ini mengikuti, misalnya, dari hasil Linial (1992) atau dari penerapan langsung teori Ramsey. Tetapi bagi saya tidak jelas apakah konstruksinya juga ketat untuk konstanta. Beberapa percobaan numerik menunjukkan bahwa konstruksi di atas mungkin optimal.$k = \Omega(\log c)$

Motivasi

Pertanyaannya terkait dengan keberadaan algoritma terdistribusi cepat untuk pewarnaan grafik. Sebagai contoh, asumsikan bahwa kita diberi pohon terarah (semua tepi berorientasi pada simpul akar), dan asumsikan bahwa kita diberi pewarnaan- pohon yang tepat. Sekarang ada algoritma terdistribusi yang menghitung pewarnaan tepat dari pohon dalam putaran komunikasi sinkron jika dan hanya jika .k 1 c ⇝ $c$$k$$1$$c \leadsto k$

$\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$$c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

Untuk asimptotik yang sedikit lebih ketat, dapat dibuktikan bahwa:

$c \leadsto k$$c \leq 2^k$

$c \times c$$k$$[k]$$i \lt j$$i$$j$$(i,j)$$j$$j$$c \leq 2^k$