Apakah zero integrality gap menyiratkan zero duality gap untuk masalah tertentu?

Kita tahu bahwa jika kesenjangan antara nilai-nilai program integer dan dual-nya ("kesenjangan kualitas") adalah nol, maka relaksasi pemrograman linier dari program integer dan dual relaksasi, keduanya mengakui solusi integral (integral nol) celah"). Saya ingin tahu apakah kebalikannya berlaku, setidaknya dalam beberapa kasus.

$P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$ $A$ $0-1$ $P'$ $P$ $P'$

Saya akan menghargai contoh atau petunjuk balasan apa pun ..

— Ankur
sumber

@ Kaveh tidak yakin bahwa aproksimasi-algoritma adalah tag yang tepat di sini. atau bahkan ds.algorithms

— Suresh Venkat

Dalam paragraf pertama, apa yang Anda maksud dengan dual program integer? Sangat berguna untuk melihat buku Schrijver tentang pemrograman linier dan integer untuk memahami dasar-dasar teori polihedral dan khususnya ketika relaksasi pemrograman linier memiliki simpul bilangan bulat. Matriks TUM dan sistem kesenjangan TDI relevan dengan pertanyaan Anda.

— Chandra Chekuri

@ Suresh, bukankah pemrograman linear dan optimasi termasuk dalam algoritma?

— Kaveh

@ChandraChekuri Saya berbicara tentang program linear integer; jadi dual adalah dual standar dari ILP yang dualitas lemah berlaku. Kesulitan di sini adalah bahwa kondisi yang cukup untuk integral solusi LP (primal) (seperti TUM / seimbang dll) tampaknya melewati konsep yang tampaknya lebih kuat tentang integralitas solusi primal dan LP ganda. Ini membuat saya bertanya-tanya apakah integralitas dari solusi primal menyiratkan integralitas dari solusi ganda, setidaknya untuk koefisien integral. PS: Saya bisa berjalan ke Siebel dan kita bisa bicara di sana! Saya berada di kelas Anda beberapa tahun yang lalu!

— Ankur

Pertanyaan khusus ini lebih dekat dengan tag yang dimilikinya saat ini.

— Suresh Venkat

Berikut ini adalah contoh yang bisa dekat dengan contoh berlawanan dengan klaim.

Pertimbangkan LP dan dual untukmatriks $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$ $P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$ $12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

$P'$ $y_1=y_2=y_{12}=1$ $3$ $P$ $x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$ $P$ $2$ $x = [1~0~0~1~0~0]$

$P'$ $P$

— kbala
sumber

Terima kasih! Itu berhasil! Bagaimana Anda menemukan contoh ini? Apakah ada kelas masalah dari mana ia diambil?

— Ankur

Matriks ini merupakan modifikasi dari matriks batas strip Mobius, yang diberikan dalam makalah kami tentang siklus homolog yang optimal. Saya telah bermain-main dengan matriks batas seperti baru-baru ini, dan karenanya secara alami mulai dengan matriks ini untuk membuat contoh yang saya berikan.

— kbala