Menggunakan kode koreksi kesalahan dalam teori


39

Apa saja aplikasi kode koreksi kesalahan dalam teori selain koreksi kesalahan itu sendiri? Saya mengetahui tiga aplikasi: Teorema Goldreich-Levin tentang bit inti keras, konstruksi ekstraktor Trevisan dan penguatan kekerasan fungsi boolean (oleh Sudan-Trevisan-Vadhan).

Apa aplikasi 'serius' atau 'rekreasi' lainnya dari kode koreksi kesalahan?

UPD: satu aplikasi lucu dari decoding daftar kode Reed-Solomon adalah solusi untuk variasi tertentu dari 20 pertanyaan permainan (dan yang lain , lebih mudah, variasi).


1
Mungkin saya akan konyol, tetapi tidak ada yang berbicara tentang Teorema PCP
AntonioFa

Jawaban:


23

Berikut ini adalah aplikasi langsung dalam kompleksitas komunikasi (yang saya lihat sekarang juga dijelaskan dalam komentar oleh Andy Drucker di blog - nya ) di luar konteks derandomisasi:

Misalkan Alice dan Bob masing-masing diberi string dan , dan mereka ingin mengetahui apakah jarak Hamming antara dan paling banyak (di mana adalah konstanta tetap). Kami ingin membuktikan kompleksitas komunikasi yang lebih rendah untuk masalah ini. Pengamatan adalah bahwa setiap protokol deterministik untuk masalah ini menghasilkan protokol deterministik dengan jumlah putaran yang sama untuk memeriksa kesetaraan dua string dan panjang mana adalah beberapa konstanta tergantung pada . Mengapa? Untuk memeriksa kesetaraany x y ϵ n ϵ a b c n c < 1 ϵ a b C ( a ) C ( b ) C ϵxyxyϵnϵabcnc<1ϵadan , Alice dan Bob dapat menjalankan protokol untuk masalah pertama pada dan mana adalah kode koreksi kesalahan dengan jarak setidaknya . Karena ada batas bawah linier mudah untuk masalah kesetaraan, ini juga menghasilkan batas bawah linier deterministik untuk masalah pertama.bC(a)C(b)Cϵ


Aplikasi yang sangat rapi!
ilyaraz

1
Tapi ... Tidak bisakah kita cukup dengan dengan jumlah nol yang cukup, dan - dengan yang? yxy
ilyaraz

ilyaraz - jika kita melakukan itu, maka bahkan jika x, y sama dengan memulai, mereka akan memiliki jarak Hamming yang besar setelah padding. Inti dari menggunakan peta C () adalah untuk menjaga kesetaraan sementara juga 'memperkuat' ketidaksetaraan.
Andy Drucker

Tapi kami ingin membedakan dua situasi: berat Hamming kecil vs berat Hamming besar. Mengapa kita ingin peduli tentang menjaga kesetaraan?
ilyaraz

3
Penggunaan ide ini yang paling menarik sebenarnya adalah untuk membuktikan batas atas kompleksitas komunikasi kesetaraan acak: cukup bandingkan bit acak dari C (a) dan C (b). Jika a = b maka Anda tentu akan mendapatkan kesetaraan, jika tidak Anda memiliki probabilitas epsilon untuk mendapatkan ketidaksetaraan. Ini membutuhkan bit O (logn) (untuk memilih indeks dari bit yang dibandingkan), dan jika para pihak memiliki keacakan yang sama maka kompleksitasnya hanyalah O (1).
Noam

17

Ada sejumlah besar aplikasi kode koreksi kesalahan dalam ilmu komputer teoretis.

Aplikasi klasik [yang saya pikir tidak disebutkan di atas] adalah untuk pembuatan extractor acak / sampler; lihat, misalnya, di sini: http://people.seas.harvard.edu/~salil/cs225/spring09/lecnotes/list.htm

Ada juga banyak aplikasi untuk kriptografi, dan saya yakin salah satu pembaca informasi akan dengan senang hati menguraikan :)


Saya pikir OP menyebutkan konstruksi ekstraktor Trevisan dalam pertanyaan.
Suresh Venkat

14

Ini adalah aplikasi baru, siapkan media! Laporan ECCC baru oleh Or Meir menjadikannya sebagai abstrak:

Teorema IP, yang menyatakan bahwa IP = PSPACE (Lund et. Al., Dan Shamir, dalam J. ACM 39 (4)), adalah salah satu pencapaian utama teori kompleksitas. Bukti teorema yang diketahui didasarkan pada teknik aritmetisasi, yang mengubah rumus Boolean yang dikuantifikasi menjadi polinomial terkait. Intuisi yang mendasari penggunaan polinomial umumnya dijelaskan oleh fakta bahwa polinomial merupakan kode koreksi kesalahan yang baik. Namun, bukti yang diketahui tampaknya disesuaikan dengan penggunaan polinomial, dan tidak menyamaratakan kode koreksi kesalahan sewenang-wenang.

Dalam karya ini, kami menunjukkan bahwa teorema IP dapat dibuktikan dengan menggunakan kode koreksi kesalahan umum. Kami percaya bahwa ini membangun dasar yang kuat untuk intuisi yang disebutkan di atas, dan menjelaskan lebih lanjut tentang teorema IP.


Saya melihat komentar Anda, ketika saya bermaksud memposting yang sama. Bagus!
ilyaraz

8

Ada serangkaian makalah tentang steganografi dan perhitungan rahasia (mulai di sini ) yang secara mendasar membutuhkan kode koreksi kesalahan. Mereka memodelkan panggilan oracle gagal untuk menarik dari distribusi sewenang-wenang sebagai kebisingan di saluran.


7

Beberapa contoh lain:

  • Konstruksi ruang sampel independen k-wise kualifikasi (misalnya, Naor-Naor, STOC'90 ). Sebenarnya, mereka menggunakan ECC dua kali: pertama untuk membangun ruang sampel yang sesuai dengan , dan kemudian mengubahnya menjadi yang independen k-wise.ϵϵϵ

  • Peningkatan pengurangan dimensi acak cepat (Fast Johnson-Lindenstrauss Transform), di Ailon-Liberty, SODA'08 .


Jawaban yang sangat bagus!
ilyaraz

7

Kode koreksi kesalahan digunakan dalam kriptografi untuk menyelesaikan masalah rekonsiliasi informasi : Alice dan Bob ingin menyepakati kunci K mulai dari (berkorelasi) string X dan Y, masing-masing. (Contoh dari situasi ini adalah protokol yang bergantung pada saluran yang berisik, dengan Alice mengirim X ke Bob.) Solusi adalah membuat Alice mengirim beberapa kesalahan mengoreksi informasi C ke Bob sehingga ia dapat merekonstruksi X. Tentu saja, masalahnya tidak begitu sederhana: karena C membocorkan beberapa informasi ke Hawa lawan, kita perlu melakukan amplifikasi privasi untuk mendapatkan kunci rahasia. Ini dapat dilakukan dengan fungsi hash 2-universal, seperti yang dijamin oleh lemma hash sisa.

Baru-baru ini, ekstraktor fuzzy diperkenalkan sebagai varian ekstraktor yang toleran terhadap kebisingan: mereka mengekstraksi string acak seragam R dari input W dan juga menghasilkan P "sidik jari" sehingga jika input berubah menjadi string W 'yang serupa, string acak R dapat dipulihkan dari P dan W '. Konstruksi ekstraktor fuzzy juga bergantung pada kode koreksi kesalahan.



6

Memang, seperti yang disebutkan Dana, ada banyak contoh.

Dalam toleransi kesalahan perhitungan kode koreksi kesalahan sangat penting. Saya pikir makalah tahun 1988 oleh Ben-Atau Goldwasser dan Teorema Kelengkapan Wigderson untuk Non-Cryptographic Fault-Tolerant Distributed Computation , sementara tidak secara eksplisit mengutip kode koreksi kesalahan hasil memiliki rasa ECC.

Tentu saja, "teorema ambang batas" yang memungkinkan perhitungan kuantum toleran kesalahan bergantung pada cara yang krusial pada kode koreksi kesalahan kuantum yang merupakan analog kuantum dari ECC biasa.
( Artikel Wikipedia untuk teorema ambang batas tentu perlu bekerja; Tetapi artikel tentang koreksi kesalahan kuantum lebih baik.)


5

Periksa daftar makalah ECCC yang ditandai dengan "kode koreksi kesalahan" .

Membaca dengan teliti daftar itu, Anda akan melihat bahwa ada hubungan antara kode-kode koreksi kesalahan dan PCP (saya tidak tahu apakah Anda akan menganggap ini sebuah aplikasi "di luar hanya memperbaiki kesalahan itu sendiri."), Dan juga pembelajaran PAC .


2
Secara khusus, kode yang dikenal sebagai 'kode yang dapat diuji secara lokal' (LTC) memiliki kemiripan yang dekat dengan PCP, dan gagasan yang digunakan dalam membangun LTC juga berguna dalam membangun PCP. Juga, saya tidak yakin apakah survei Trevisan "Beberapa Aplikasi Teori Pengkodean dalam Kompleksitas Komputasi" telah disebutkan, tetapi itu adalah referensi yang bagus untuk pertanyaan Anda.
Andy Drucker

4

Untuk akun yang sangat bagus tentang bagaimana kode koreksi kesalahan digunakan dalam situasi praktis tertentu, lihat:

Matematika Compact Disc, oleh Jack H. Van Lint, dalam Matematika Everywhere, M. Aigner dan E. Behrends (editor), American Mathematical Society, 2010

(Buku ini adalah terjemahan dari bahasa Jerman asli.)


3

Aplikasi lain dalam kode otentikasi. Ini pada dasarnya adalah pengkodean yang dirancang untuk mendeteksi adanya gangguan pada pesan, dan secara mendasar bergantung pada koreksi kesalahan. Ini agak lebih dari koreksi kesalahan sederhana, yang cenderung memerlukan asumsi tentang struktur kebisingan.


2

Kode koreksi kesalahan memiliki aplikasi dalam pengujian properti:

(Maaf, ini agak bias terhadap makalah yang saya tulis bersama, sebagian besar karena keakraban saya dengan itu.)


1

Kami percaya kriptografi kunci publik berbasis kode sebagai pasca-kuantum. Faktanya, kriptografi berbasis kode memiliki catatan sejarah terpanjang di antara skema kunci publik pasca-kuantum, tetapi ukuran kunci tampak tidak praktis besar, seperti 1MB di McBits .

Kami menggunakan kode koreksi kesalahan dalam kriptografi kunci publik berbasis kisi juga, yang menggunakan fase rekonsiliasi seperti yang disebutkan Felipe Lacerda. Faktanya, taruhan terbaik kami saat ini untuk pertukaran kunci pasca-kuantum adalah skema Module-LWE Kyber (berbasis kisi).

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.