Apakah mungkin untuk menggunakan pembatasan acak untuk mendapatkan batas bawah untuk

Ada beberapa terkenal hasil ukuran sirkuit yang lebih rendah-bound berdasarkan pembatasan acak dan Switching Lemma . $\mathsf{AC^0}$

Bisakah kita mengembangkan hasil Lema Switching untuk membuktikan ukuran yang lebih rendah terikat untuk sirkuit (mirip dengan bukti yang lebih rendah-bound untuk )? $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

Atau apakah ada kendala yang melekat untuk menggunakan pendekatan ini untuk membuktikan rendah-batas? $\mathsf{TC^0}$

Do hasil penghalang seperti Natural Bukti mengatakan apa-apa tentang menggunakan Switching Lema seperti teknik untuk membuktikan rendah-batas? $\mathsf{TC^0}$

— Jeigh
sumber

Apakah Anda terbiasa dengan bukti pengalihan lemma untuk

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

Saya membaca bab sirkuit batas bawah dari buku teks Arora. Pertama, mentransformasikan setiap cirtuit kedalaman konstan ke sirkuit tanpa gerbang TIDAK dengan lapisan AND-OR yang saling terhubung, dan kedua menggunakan sakelar Switching Lemma dua lapisan ini, akhirnya kita mendapatkan sirkuit atas dan level kedua adalah gerbang AND (atau OR) yang sama dengan demikian kita dapat menghilangkan cicuit dari satu lapisan, mereduksi kedalaman rangkaian.

— Jeigh

Namun, tidak sederhana dari case boolean untuk mengamati output dari sebuah gate ketika kita memperbaiki beberapa nilai input (dalam case boolean kita memperbaiki tentang input root n persegi). DAN gerbang dan OR gerbang adalah versi ekstrim dari ambang pintu dan jauh lebih mudah untuk mengamati pengaruh pembatasan.

— Jeigh

Gagasan di balik teknik pembatasan acak adalah bahwa

dipukul oleh pembatasan acak menjadi lebih sederhana (pada kenyataannya konstan) dengan probabilitas tidak nol sambil menjaga cukup variabel bebas. Tidak seperti gerbang

dan

, satu

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

\land

$\land$

\lor

$\lor$

gerbang terkena pembatasan acak akan masih menghitung sebuah

\mod p

$\mod p$

gerbang pada input ukuran yang lebih kecil dan tidak akan menjadi lebih sederhana.

\mod p

$\mod p$

— Kaveh

Perhatikan juga bahwa pembatasan acak dan Lemma Switching adalah salah satu contoh utama Bukti Alami. Bagaimanapun, semoga ahli kompleksitas sirkuit akan memposting jawaban yang lebih komprehensif. ps: Saya mengambil kebebasan untuk menulis ulang pertanyaan, merasa bebas untuk memutar kembali jika Anda tidak menyukai suntingan saya.

— Kaveh

Sebenarnya dimungkinkan untuk menggunakan pembatasan acak untuk membuktikan batas bawah untuk sirkuit ambang batas.

Khususnya di kertas Size-Depth Tradeoffs untuk Threshold Circuits , Impagliazzo, Paturi, dan Saks menggunakan pembatasan acak untuk membuktikan batas bawah superliner (pada jumlah kabel) untuk sirkuit ambang batas kedalaman konstan menghitung fungsi paritas.

$\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{TC}^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
sumber

Lihat juga makalah terbaru Daniel Kane dan Ryan Williams, Gerbang Super-Linear dan Batas Bawah Kawat Super-Kuadratik untuk Sirkuit Ambang Batas Depth-2 dan Depth-3 (STOC 2016).

Ryan menjelaskan makalah ini sebagai berikut (deskripsi berikut diambil dari beranda):

$\mathsf{PP}$ $n^{1.5}$ $n^{2.5}$ $O(n)$

— Yuval Filmus
sumber