Parameter grafik mungkin terkait dengan treewidth

Saya tertarik pada grafik pada $n$ simpul yang dapat diproduksi melalui proses berikut.

1. Mulai dengan grafik arbitrer $G$ pada $k\le n$ simpul. Labeli semua simpul dalam sebagai tidak digunakan .$G$
2. Menghasilkan grafik baru dengan menambahkan titik baru , yang terhubung ke satu atau lebih yang tidak terpakai simpul di , dan tidak terhubung ke setiap bekas simpul di . Label sebagai tidak digunakan .$G'$$v$$G$$G$$v$
3. Labeli salah satu simpul dalam yang terhubung dengan saat digunakan .$G'$$v$
4. Atur ke dan ulangi dari langkah 2 hingga berisi simpul.$G$$G'$$G$$n$

Sebut grafik seperti itu "grafik kompleksitas " (permintaan maaf untuk terminologi yang tidak jelas). Misalnya, jika adalah grafik kompleksitas 1, adalah lintasan.$k$$G$$G$

Saya ingin tahu apakah proses ini telah dipelajari sebelumnya. Khususnya, untuk arbitrer , apakah NP-lengkap untuk menentukan apakah grafik memiliki kompleksitas ?$k$$k$

Masalah ini muncul agak mirip dengan pertanyaan apakah adalah -tingkat parsial , yaitu memiliki treewidth . Diketahui bahwa menentukan apakah memiliki treewidth adalah NP-complete. Namun, beberapa grafik (bintang, misalnya) mungkin memiliki treewidth jauh lebih kecil daripada ukuran kompleksitas yang dibahas di sini.$G$$k$ G $k$$G$$k$

4 Oktober 2012: Pertanyaan diposkan silang ke MathOverflow setelah tidak ada jawaban konklusif setelah seminggu (meskipun terima kasih atas info tentang arus sebab akibat).

Meskipun kami sudah membicarakan hal ini secara pribadi sebelumnya, saya akan menambahkan ini dengan harapan ini akan memungkinkan orang lain memberikan jawaban yang lengkap.

Dalam proses Anda menambahkan simpul, mendefinisikan fungsi parsial dari masing-masing titik v yang akan digunakan, ke titik yang ditambahkan ketika v terbiasa. Kemudian ternyata f adalah fungsi aliran (kausal) (hlm. 39), yang merupakan versi terbatas dari penutup jalur. Memang, deskripsi Anda tentang grafik "kompleksitas k " ini (diberikan satu set simpul yang menjadi simpul yang awalnya tidak digunakan, dan simpul terakhir yang tidak digunakan) adalah dekomposisi bintang dari "geometri" dengan aliran sebab-akibat (hal. 46 artikel di atas).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Meskipun "aliran sebab akibat" ini telah dipelajari terutama dalam konteks perhitungan kuantum (berbasis pengukuran) - di mana mereka termotivasi oleh struktur tertentu dari sirkuit kesatuan - ada grafik-teori hasil tentang mereka yang sepenuhnya terpisah dari perhitungan kuantum:

Titik akhir modulo Keunikan : grafik dengan "kompleksitas  " adalah tepat untuk yang ada (mungkin berpotongan) set S , T ⊆ V ( G ) , kedua ukuran k , sehingga G memiliki tepat satu penutup jalur ukuran k yang jalurnya mulai di S dan berakhir di T .$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Grafik ekstrem : Grafik pada simpul yang memiliki "kompleksitas k " memiliki paling banyak k n - ( k + $n$$k$ tepi.$kn - \binom{k+1}{2}$

Dengan menggunakan hasil ini, dan diberi pasangan pasangan himpunan , menentukan apakah mereka "mensubstensikan" penutup jalur yang unik dengan cara ini dapat ditentukan dalam waktu O ( k 2 n ) ; tetapi menemukan apakah set endpoint semacam itu ada yang merupakan kesulitan nyata, dan hasil ekstrem di atas (yang hanya merupakan kondisi yang diperlukan) tampaknya mewakili keadaan seni dalam kriteria efisien untuk menentukan apakah set tersebut ada.$S,T$$O(k^2 n)$

Semua grafik kompleksitas memiliki lebar jalur paling banyak k . Pada setiap langkah, set node yang tidak digunakan adalah pemisah yang memisahkan node yang digunakan dari yang sudah dibuat. Jadi pada setiap langkah, ketika Anda menambahkan simpul, Anda dapat membuat tas berisi simpul itu ditambah semua simpul yang tidak digunakan dan menghubungkan tas di akhir dekomposisi jalur. Ini akan menjadi dekomposisi jalur yang valid.$k$$k$

Karena "yang terhubung" di titik 3 dan 2 lebar jalur bisa jauh lebih kecil dari k . Saya tidak yakin tentang memutuskan apakah G adalah kompleksitas k , tetapi seperti yang dikatakan Niel, harus ada penutup jalur dengan ukuran k, tetapi tidak hanya penutup jalur, jalur harus diinduksi. Dan di antara jalan kita dapat memiliki pola zig-zag ini. Kita dapat dalam waktu f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) menghitung dekomposisi jalur yang optimal, maka kita dapat menggunakan dekomposisi ini untuk melakukan pemrograman dinamis sambil melacak segmen yang berbeda dari k ini.$v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$jalur, jalur mana mereka berasal dan urutan segmen milik jalur yang sama. Dan untuk setiap pasangan segmen yang dimiliki jalur yang berbeda, kita hanya perlu mengetahui jalur pertama dan terakhir dari zig-zag.

Karenanya saya pikir kita dapat memutuskan apakah grafik memiliki kompleksitas dalam waktu f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) .$k$$f(k) \cdot poly(n)$