Mengapa batas bawah untuk Sirkuit boolean tidak menyiratkan sirkuit aritmatika batas bawah

Pertanyaan saya adalah mengapa batas bawah untuk kedalaman 3 sirkuit Boolean dengan gerbang "dan" dan "xor" untuk determinan tidak menyiratkan batas bawah yang sama untuk sirkuit aritmatika di atas $\mathbb{Z}$ ?

Apa yang salah dengan argumen berikut: Misalkan $C$ menjadi rangkaian penentu penghitungan aritmatika maka dengan mengambil semua variabel mod 2 kita akan mendapatkan penentu penghitung penghitung sirkuit Boolean.

cc.complexity-theory circuit-complexity arithmetic-circuits

— Seseorang
sumber

Untuk rangkaian aritmatika lebih dari $\mathbb{Z}$ argumen Anda tepat. Argumen yang sama berfungsi untuk rangkaian aritmatika di atas $\mathbb{Q}$ yang tidak menggunakan pecahan $a/b$ mana $b$ adalah genap.

Namun, argumen tidak lagi berfungsi jika Anda berbicara tentang sirkuit aritmatika di atas cincin lain, seperti: sirkuit aritmatika umum di atas (yaitu tanpa batasan di atas), , bidang bilangan aljabar, , atau bidang hingga dengan . $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{F}_{q}$ $q \neq 2$

(Ini pada dasarnya alasan yang sama bahwa dalam geometri aljabar sering dianggap sebagai "karakteristik campuran," daripada karakteristik nol.) $\mathbb{Z}$

Namun, kedalaman 3 Boolean menurunkan batas untuk sirkuit dengan {AND, OR, NOT} kurang mudah berhubungan dengan menurunkan batas untuk sirkuit aritmatika lebih . (Ya, {DAN, XOR} adalah basis yang lengkap, tetapi biasanya kedalaman 3 sirkuit di atas {DAN, ATAU, TIDAK} Anda menganggap BUKAN gerbang gratis, sedangkan menerapkan BUKAN dengan XOR Anda kemudian menggunakan gerbang XOR, yang sebenarnya Anda hitung Demikian pula, meskipun , ketika Anda menerapkan gerbang OR tunggal ini dengan AND dan XOR, Anda akan mendapatkan sedikit gadget kedalaman 3.) $\mathbb{Z}$ $a \vee b = \neg (\neg a \wedge \neg b)$

Pernyataan umum adalah: biarkan menjadi polinomial dengan koefisien dalam cincin , dan anggap adalah cincin homomorfisme. Dengan menerapkan untuk setiap koefisien Anda mendapatkan polinomial dengan koefisien dalam , yang saya menotasikan . Kemudian batas bawah untuk menghitung oleh sirkuit -arithmetic menyiratkan sama rendah menuju komputasi oleh sirkuit -arithmetic. $f$ $R$ $\varphi\colon R \to S$ $\varphi$ $f$ $S$ $f_S$ $f_S$ $S$ $f$ $R$

— Joshua Grochow
sumber

apa pentingnya

even?

b

$b$

— Suresh Venkat

Sehingga ketika Anda mengambil hal-hal mod 2

memiliki invers mod 2, yaitu

menjadi

b

$b$

a / b \in Q

$a/b \in \mathbb{Q}$

dan yang terakhir didefinisikan dengan baik.

a b^{- 1} (\mod 2)

$ab^{-1} \pmod{2}$

— Joshua Grochow

Apakah itu berarti bahwa membuktikan semacam teorema seperti von-division (yaitu bahwa Anda tidak perlu membaginya dengan dua) akan menyiratkan sirkuit batas bawah di atas C?

— Klim

@ Klim: Tidak. Masalahnya adalah bahwa rangkaian lebih dari C masih dapat menggunakan konstanta irasional (atau bahkan tidak nyata), yang Anda masih tidak dapat mengambil "mod 2."

— Joshua Grochow