Hubungan Teorema Ketidaklengkapan Gödel dengan Tesis Gereja-Turing

Ini mungkin pertanyaan yang naif, tapi begini saja. (Sunting - ini tidak mendapatkan upvotes, tetapi tidak ada yang menawarkan tanggapan; mungkin pertanyaannya lebih sulit, tidak jelas, atau tidak jelas daripada yang saya kira?)

Teorema Ketidaklengkapan Pertama Gödel dapat dibuktikan sebagai akibat wajar dari ketidakpastian masalah penghentian (misalnya Sipser Bab 6; posting blog oleh Scott Aaronson ).

Dari apa yang saya mengerti (dikonfirmasi oleh komentar), bukti ini tidak bergantung pada tesis Gereja-Turing. Kami mendapatkan kontradiksi dengan menunjukkan bahwa, dalam sistem formal yang lengkap dan konsisten, Mesin Turing dapat memecahkan masalah yang terjadi. (Jika di sisi lain kami baru saja menunjukkan bahwa beberapa prosedur yang efektif dapat memutuskan masalah penghentian, kita juga perlu menganggap tesis Church-Turing untuk mendapatkan kontradiksi.)

Jadi, kita dapat mengatakan bahwa hasil ini memberikan sedikit dukungan intuitif untuk tesis Gereja-Turing, karena ini menunjukkan bahwa batasan Mesin Turing menyiratkan batasan universal. (Posting blog Aaronson tentu mendukung pandangan ini.)

Pertanyaan saya adalah apakah kita dapat memperoleh sesuatu yang lebih konkret dengan membalik: Apa implikasi formal yang dimiliki teorema Gödel terhadap tesis Church-Turing? Misalnya, tampaknya secara intuitif dimungkinkan bahwa teorema Ketidaklengkapan Pertama menyiratkan bahwa tidak ada prosedur efektif yang dapat menentukan apakah Mesin Turing sewenang-wenang berhenti; alasannya mungkin ada bahwa keberadaan prosedur seperti itu menyiratkan kemampuan untuk membangun teori yang konsisten penuh . Apakah ini benar? Apakah ada hasil di sepanjang garis ini?$\omega$

(Saya bertanya karena penasaran - saya sendiri tidak belajar logika - jadi saya minta maaf jika ini tingkat penelitian yang terkenal atau tidak. Dalam hal ini, anggap ini permintaan referensi! Terima kasih atas komentar atau tanggapan !)

Pertanyaan yang kedengarannya terkait, tetapi tidak: Teorema Gereja dan Teorema Ketidaklengkapan Gödel

EDIT: Saya akan mencoba membuat pertanyaan lebih jelas! Pertama - intuisi naif saya adalah bahwa Ketidaklengkapan Gödel harus menyiratkan setidaknya beberapa batasan pada apa yang dapat dihitung atau tidak. Batasan-batasan ini akan tanpa syarat, yaitu , mereka harus berlaku untuk semua model perhitungan daripada hanya Mesin Turing.

Jadi saya bertanya-tanya apakah hal ini terjadi (harus ada beberapa implikasi, kan?). Dengan asumsi itu, saya paling ingin tahu tentang dampaknya terhadap Tesis Gereja-Turing - gagasan bahwa segala sesuatu yang dihitung secara efektif dapat dihitung oleh Mesin Turing. Sebagai contoh, tampaknya ada kemungkinan bahwa prosedur yang efektif untuk memutuskan apakah Mesin Turing berhenti akan bertentangan dengan Teorema Ketidaklengkapan Pertama. Hasil ini akan menunjukkan bahwa tidak ada metode perhitungan yang mungkin bisa "jauh" lebih kuat daripada Mesin Turing; tetapi apakah hasil ini benar? Saya punya beberapa pertanyaan serupa di komentar. Saya akan sangat tertarik untuk mendengar jawaban dari salah satu pertanyaan ini, petunjuk ke jawaban dalam literatur, penjelasan mengapa seluruh alasan saya tidak masuk akal, atau komentar lainnya!

Inilah jawaban filosofis yang mungkin menghibur Anda.

Teorema ketidaklengkapan Gödel adalah tentang sistem formal aritmatika Peano. Karena itu mereka tidak mengatakan apa-apa tentang model perhitungan, setidaknya tidak tanpa sejumlah interpretasi.

Aritmatika peano dengan mudah menunjukkan adanya fungsi yang tidak dapat dihitung. Sebagai contoh, menjadi teori klasik yang cukup ekspresif untuk berbicara tentang mesin Turing, ia menunjukkan contoh khusus tengah yang dikecualikan yang mengatakan bahwa setiap mesin Turing berhenti atau berjalan selamanya. Namun demikian, dari karya Gödel, muncul gagasan penting tentang kemampuan komputasi, yaitu fungsi rekursif (primitif) . Jadi bukan teorema itu sendiri yang terhubung ke komputabilitas, melainkan metode pembuktian yang membangun mereka.

Inti dari teorema ketidaklengkapan dapat diekspresikan dalam bentuk abstrak menggunakan logika provabilitas, Yang merupakan semacam modal logika. Ini memberikan teorema ketidaklengkapan berbagai penerapan jauh melampaui aritmatika dan komputasi Peano. Segera setelah prinsip-prinsip titik tetap tertentu dipenuhi, ketidaklengkapan muncul. Prinsip-prinsip titik tetap ini dipenuhi oleh teori komputabilitas tradisional, yang karenanya menjadi korban ketidaklengkapan, yang saya maksudkan keberadaan set ce yang tidak dapat dipisahkan. Karena kalimat-kalimat aritmatika Peano yang dapat dibuktikan dan disangkal membentuk set ce yang tidak dapat dipisahkan, teorema ketidaklengkapan Gödel tradisional dapat dilihat sebagai fenomena wajar terhadap ketidaklengkapan dalam komputabilitas. (Secara filosofis saya samar-samar dan kepala Anda akan sakit jika Anda mencoba memahami saya sebagai ahli matematika.)

Saya kira kita dapat mengambil dua pendirian tentang bagaimana semua ini berhubungan dengan gagasan informal tentang keefektifan ("hal-hal yang sebenarnya dapat dihitung"):

1. Sejauh yang kita ketahui, kita hanyalah robot terbatas yang cukup besar, yang mampu merenungkan pahlawan super fiksi yang disebut "mesin Turing" yang mampu menghitung dengan angka tak terbatas (terkesiap!). Jika ini masalahnya, Gödel hanyalah pendongeng yang sangat bagus. Bagaimana kisah-kisahnya diterjemahkan ke dalam keefektifan kemudian menjadi masalah beberapa aplikasi imajinasi (yang tentunya tidak akurat) pada kenyataan.

2. Karena fenomena ketidaklengkapan muncul secara alami dalam banyak konteks, dan tentu saja dalam semua pengertian yang masuk akal tentang komputasi, kami menyimpulkan bahwa hal yang sama harus menjadi kasus untuk efektivitas. Sebagai contoh, misalkan kita dapat mengirim mesin Turing ke dalam lubang hitam untuk menghitung mesin Turing ala a la Joel Hamkin . Ini memberi kita kekuatan komputasi yang sangat besar di mana oracle yang berhenti adalah mainan TK. Tapi tetap saja, model memenuhi kondisi dasar yang memungkinkan kita untuk menunjukkan keberadaan set yang tidak dapat disangkal. Dan oleh karena itu sekali lagi, perhitungan tidak terlalu kuat dan ketidaklengkapan adalah fakta kehidupan.

Saya ingin menekankan komentar Neel , alat utama untuk keraguan dan teorema ketidaklengkapan Godel adalah:

1. mengkodekan konsep sintaksis seperti bukti, perhitungan, dll. dengan angka / string dan hubungan / fungsi di atasnya;
2. Teorema poin tetap Godel.

Pengkodean objek dan konsep sintaksis mungkin tampak jelas hari ini bahwa kita terbiasa dengan komputer digital, tetapi itu adalah ide yang sangat penting untuk komputer dan perangkat lunak universal. Semua yang diperlukan untuk membuktikan keberadaan simulator universal ada di makalahnya.

Godel juga menunjukkan bahwa kita dapat mewakili konsep sintaksis ini dan umumnya hubungan / fungsi yang dapat dihitung TM dengan rumus aritmatika sederhana.

Singkatnya bukti ketidaklengkapan Godel adalah sebagai berikut:

Biarkan menjadi teori konsisten yang cukup kuat dengan aksioma singkat$T$

1. ada rumus dalam bahasa yang merepresentasikan provabilitas rumus yang dikodekan oleh dalam ,T x $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. menurut teorema titik tetap Godel, ada rumus yang merupakan titik tetap untuk , yaitu .¬ P r o v a b l e ( x $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

Keraguan untuk menghentikan masalah untuk TM menggunakan bahan-bahan serupa:

1. ada TM yang mengenali jika TM dikodekan oleh berhenti,$Halt(x)$$x$
2. Titik tetap Kleene untuk menemukan TM st menerima IFF menerima.$N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

Ketidakpastian penghentian untuk TM memberikan ketidaklengkapan karena kita dapat mewakili dalam dan kita dapat menghitung teorema , dan jika selesai kita dapat memutuskan apakah TM yang diberikan berhenti atau tidak dengan memeriksa apakah rumus yang sesuai dapat dibuktikan. di .$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

Kebalikannya juga sederhana: jika teori adalah ce, maka provabilitas dalam dapat ditentukan dengan menggunakan masalah penghentian, oleh karena itu kita dapat membangun teori lengkap dengan hanya menambahkan semakin banyak rumus yang negasinya tidak dapat dibuktikan. Oleh karena itu jika masalah terputus-putus adalah decidable, maka kita bisa memiliki ekstensi ce lengkap .$T$$T$$T$

Buktinya sangat mirip dan menggunakan bahan yang sama (meskipun untuk seseorang yang lebih akrab dengan TM tetapi tidak banyak dengan logika, keraguan tentang masalah penghentian mungkin terlihat lebih sederhana: contoh tertentu dari teorema titik tetap yang digunakan dalam bukti tidak pasti mungkin terlihat lebih sederhana daripada contoh khusus dari titik tetap yang digunakan dalam teorema Godel meskipun mereka pada dasarnya sama, tetapi ide-ide dasarnya hanya menyandikan objek dan konsep sintaksis menggunakan angka / string dan formula / fungsi tentang mereka, dan menerapkan teorema titik tetap).

Saya pikir Anda dapat menggunakan model komputasi yang lebih kuat untuk teorema, Anda dapat mengambil wrutability wrt oracle , pertimbangkan masalah penghentian untuk TM dengan akses ke oracle , dan pertimbangkan aritmatika yang memiliki predikat dan aksioma yang mendefinisikan grafik dari . Kami akan memiliki situasi yang sama untuk computability sehubungan dengan .$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Perhatikan bahwa teorema Godel diterbitkan pada tahun 1931, sedangkan keraguan Turing diterbitkan pada tahun 1936. Pada saat penerbitan makalah Godel, TM tidak didefinisikan dan Godel menggunakan model lain yang setara. IIRC, Godel tidak sepenuhnya puas dengan hasilnya sebagai menyelesaikan tujuan asli dari program Hilbert karena ia tidak yakin bahwa model perhitungan yang ia gunakan benar-benar menangkap gagasan intuitif tentang kemampuan komputasi, ia hanya puas setelah argumen filosofis Turing tentang penangkapan TM gagasan intuitif tentang kemampuan algoritmik. Saya pikir Anda dapat membaca lebih lanjut tentang ini dalam karya Godel yang dikumpulkan.