NP-hardness dari masalah optimisasi

Saat mempelajari masalah dalam teori permainan algoritmik, saya tertarik pada kompleksitas pertanyaan pengoptimalan berikut:

Masalah

Diberikan:

set tanah diberikan oleh , $U = [n] = \{1,\ldots,n\}$ $n$
peringkat diberikan sebagai total pesanan mana ( ), $m$ $\langle S_i, \sigma_i \rangle$ $S_i \subseteq U$ $1 \leq i \leq m$
vektor berat untuk diberikan oleh . $U$ $w \in \mathbb{R}^n$

Tujuan: menemukan subset memaksimalkan jumlah berikut: di mana adalah peringkat item yang tertinggi di menurut . $L \subseteq U$

r (L) = \sum_{i \in [m], S_{i} \cap L \neq \emptyset} w (t_{i} (L))

$r(L) = \sum_{i \in [m],\ S_i \cap L \neq \emptyset} w(t_i(L))$

t_{i} (L)

$t_i(L)$

L \cap S_{i}

$L\cap S_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

Saya menduga bahwa masalahnya adalah -hard. Sebenarnya masalah tampaknya sulit bahkan ketika semua adalah dari ukuran . Namun saya belum bisa membuktikan ini. $\mathsf{NP}$ $S_i$ $2$

Apa yang saya tahu

Mudah untuk melihat bahwa pembatasan berikut membuat masalah mudah:

semua bobotnya seragam: memilih semua elemen jelas optimal.
semua peringkat adalah peringkat lengkap di atas : solusi terbaik diperoleh dengan mengambil elemen dengan berat maksimal. $U$
bobotnya hanya biner ( ), lalu memilih semua elemen penimbangan adalah optimal. $w \in \{0,1\}^n$ $1$

$\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{NP}$ $r(L) \geq k$

IP yang cocok dapat dibangun dengan mudah untuk contoh masalah tertentu, tetapi saya tidak melihat adanya kemiripan yang cukup dengan masalah yang saya ketahui.

Pertanyaan

$\mathsf{NP}$

— Joelo
sumber

Saya pikir solusi Anda benar dan jika Anda menggunakan trik serupa untuk klausa, Anda bahkan dapat membatasi setiap Si hingga 2 elemen.

— domotorp

Nah, inilah solusi yang mungkin:

Pengurangan akan dari 3SAT.

$m$ $(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)$ $n$ $(x_1,\ldots,x_n)$

$x_i, \overline x_i$ $True$ $x_i$ $t$ $\{x_i,\overline x_i\}_{i=1,…,n}$ $1$ $t$ $1.5$

Buat dua set konsumen:

$x_1,\ldots,x_n$ $\{x_i,\overline x_i\}$ $True$ $i=1,\ldots,n$

$\sigma_{i1}: x_i\succ t\\ \sigma_{i2}: \overline x_i \succ t \\ \sigma_{i3}: x_i \succ \overline x_i \\ \sigma_{i4}: x_i \succ \overline x_i$

$t$ $x_i$ $\overline x_i$ $4$ $3$ $4.5$

$\varphi_j=\ell_{j1} \vee \ell_{i2} \vee \ell_{j3}$ $\sigma_j: \ell_{j1} > \ell_{j2} > \ell_{j3}$ $\varphi_j$ $\ell_{j1}, \ell_{j2}$ $\ell_{j3}$ $1$ $\sigma_j$

$m+4.5n$

— Joelo
sumber