Di bawah ini adalah jawaban yang bertele-tele, tapi tl; dr dalam kasus umum tidak ada harapan untuk perumusan tersebut, tapi bagi banyak dari kelas tertentu grafik jarang yang memiliki keteraturan lemmas formulasi ini ada.
Untuk latar belakang, ada dua versi populer dari SRL. Yaitu: untuk setiap ε>0 tetap > 0 dan setiap n -node graf G=(V,E) , seseorang dapat mempartisi V=V0∪V1∪ ⋯ ∪Vhal menjadi p = Oε( 1 ) bagian sehingga. ..
(Ungkapan Kombinatorial) (1) | V0| ≤εn dan ukuran dari setiap V1, ... , Vhal berbeda dengan paling 1 ( V0 disebut "luar biasa set"), dan (2) semua tapi ε p2 pasang bagian-bagian yang tersisa ( Vsaya, Vj) memuaskan
|d(S,T) -d( Vsaya, Vj) | < ε untuk semua S⊆ Vsaya,T⊆ Vj
(di sinid( ⋅ , ⋅ ) memberikan kerapatan antara bagian-bagian, yaitu fraksi tepi yang ada).
(Analytic Phrasing) Membiarkan
di s c( Vsaya, Vj) : = maksS⊆ Vsaya, T⊆ Vj| Vsaya| | Vj| | d( Vsaya, Vj) - d( S, T) | ,
kami memiliki
∑i , j = 0haldi s c( Vsaya, Vj) < ε n2.
"Penggabungan frase" (Saya baru saja membuat nama-nama ini, mereka tidak standar) adalah yang asli dan mungkin lebih terkenal, sedangkan "analitik ungkapan" lebih modern dan terkait dengan batas grafik, dll (saya pikir itu dipopulerkan di sini). Bagi saya yang analitik adalah formalisasi yang tepat dari "grafik yang didekati oleh penyatuan pengekspansi bipartit," karena ini memberikan kontrol pada "kesalahan" total perkiraan semacam itu, dan tidak ada set yang luar biasa untuk menyembunyikan massa. Tetapi pada titik ini ini hanya kosmetik, karena itu adalah lemma yang mudah tetapi penting bahwa kedua frasa ini setara. Untuk beralih dari Combinatorial ke Analytic, hanya serikat pekerja yang mengikat kontribusinya terhadap perbedaan bagian-bagian yang tidak teratur dan perangkat yang luar biasa. Untuk beralih dari Analytic ke Combinatorial, pindahkan saja setiap bagian yang berkontribusi terlalu banyak pada set yang luar biasa dan terapkan Ketimpangan Markov untuk mengendalikan massanya.
εε d( G )d(G )G Sebaliknya, frase Analitik lebih kuat: itu masih menyiratkan Combinatorial persis seperti sebelumnya, tetapi Combinatorial umumnya tidak menyiratkan Analytic, karena (seperti yang diantisipasi dalam OP) seseorang berpotensi dapat menyembunyikan banyak kepadatan di set luar biasa atau antara non-reguler pasang bagian. Memang, pemisahan ini bersifat formal: grafik batas bawah untuk SRL padat (katakanlah, yang ini ) menyiratkan bahwa Analytic Phrasing secara umum tidak mencakup grafik yang jarang, tetapi makalah oleh Scott yang ditautkan dalam OP menunjukkan bahwa Frasa Kombinatorial sebenarnya tidak meluas ke semua grafik jarang tanpa kondisi.
Survei yang ditautkan dalam OP sebagian besar berbicara tentang SRL untuk grafik jarang "atas-reguler", yang secara kasar berarti bahwa grafik tidak memiliki potongan yang lebih padat daripada rata-rata lebih dari faktor konstan. Untuk grafik-grafik khusus ini, frase Combinatorial dan Analytic adalah setara, karena tidak mungkin ada terlalu banyak massa tambahan yang tersembunyi di bagian luar biasa sehingga kontribusinya terhadap perbedaan dapat dibatasi oleh kesatuan seperti dalam kasus padat. Jadi grafik ini memiliki interpretasi "didekati oleh penyatuan bipartit".
L.hal