Pengambilan sampel dari sel Voronoi suatu titik

Perbaiki satu set poin . Sekarang titik permintaan tiba, dan tujuannya adalah menghasilkan titik sampel secara seragam dari sel Voronoi di set . $n$ $P \subset \mathbb{R}^d$ $q$ $r$ $q$ $P \cup \{q\}$

Untuk keperluan pertanyaan ini, Anda dapat mengasumsikan bahwa sel Voronoi selalu dibatasi (misalnya selalu terletak di cembung lambung ). $q$ $q$ $P$

Adakah yang diketahui tentang masalah ini?

Beberapa kendala:

Saya mungkin ingin lebih dari satu sampel dari sel Voronoi . Ini harus IID. $q$
Saya diizinkan untuk memproses poin sebelumnya, tetapi saya tidak dapat menghabiskan waktu secara eksponensial dalam . $d$
Sampel harus dihasilkan dalam waktu sublinear dalam dan polinomial dalam idealnya. $n$ $d$

Perhatikan bahwa aturan di atas tidak menghitung sel Voronoi secara eksplisit. Perhatikan juga bahwa meskipun pendekatan penolakan sampel akan menghasilkan sampel yang seragam, tidak jelas bagaimana melakukannya secara efisien.

cg.comp-geom randomized-algorithms voronoi

— Suresh Venkat
sumber

Apakah ada beberapa alasan bahwa itu tidak langsung bekerja menggunakan teknik estimasi volume berjalan acak biasa untuk menghasilkan sampel acak seragam dalam badan cembung dalam waktu polinomial?

— David Eppstein

Saya harus mengklarifikasi. Seharusnya dimungkinkan untuk menggunakannya karena oracle keanggotaan dapat dihitung, tetapi waktu berjalan untuk menghasilkan sampel cukup mahal (paling tidak itu waktu linear karena Anda menggambarkan sel voronoi dalam hal n halfplane kendala). Oleh karena itu ketentuan sublinear.

— Suresh Venkat

Ah, aku merindukan bagian sublinear.

— David Eppstein

Anda dapat mewujudkan polytope sebagai sel Voronoi. jadi minimal Anda harus dapat memproses ulang polytope sehingga Anda dapat mengambil sampel seragam IID lebih cepat daripada melakukan jalan acak penuh setiap kali. ini sepertinya cukup sulit sendiri?

— Sasho Nikolov

Terlalu pendek untuk berkomentar ... Berikut ini adalah bla bla intuitif, dan jangan ragu untuk membelinya.

$q$ $2^d$ . Ini mungkin argumen yang lebih formal. Pilih satu set poin pada unit hypersphere sehingga sudut antara dua titik setidaknya, saya tidak tahu, 80 derajat. Kita tahu, bahwa seseorang dapat memilih sejumlah titik eksponensial pada bola tanpa terlalu banyak usaha jika dimensinya cukup besar. Sekarang, secara intuitif, untuk setiap bagian dari setengah titik, sel Voronoi dari pusat bola seharusnya memiliki volume hampir dua kali lipat bila dibandingkan dengan volume sel dengan semua titik. Ini secara tidak langsung menyiratkan Anda harus memeriksa semua poin untuk mendapatkan estimasi volume yang baik. Yang tampaknya menyiratkan, sekali lagi secara intuitif, bahwa pengambilan sampel secara seragam tidak akan mungkin, karena masalahnya tampaknya setara secara polinomi ...

— Sariel Har-Peled
sumber

Itu argumen yang menarik. Namun, bukankah argumen seperti itu menunjukkan bahwa Anda tidak dapat memperkirakan volume badan cembung yang ditentukan oleh setengah pesawat, yang kami tahu bisa kami lakukan?

— Suresh Venkat

Tidak juga - jika Anda dapat membaca semua input maka argumen ini gagal ....

— Sariel Har-Peled

Yah saya diizinkan untuk preprocess input dengan cara apa pun yang saya inginkan.

— Suresh Venkat