Combinators untuk Fungsi Rekursif Primitif

Sudah diketahui bahwa kombinator S dan K Turing Lengkap. Adakah kombinator yang cukup untuk menghasilkan (hanya) fungsi rekursif primitif?

lo.logic computability

— NietzscheanAI
sumber

Apakah ini yang Anda tanyakan? mathoverflow.net/questions/48006/…

— Andrej Bauer

Ya, tetapi Anda harus mempertimbangkan kombinator yang diketik. Artinya, Anda perlu memberi dan skema jenis berikut: $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & : & SEBUAH \to B \to SEBUAH \\ S & : & (SEBUAH \to B \to C) \to (SEBUAH \to B) \to (SEBUAH \to C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$ mana

, dan

adalah meta-variabel yang dapat dipakai untuk semua jenis beton pada setiap penggunaan.

A, B

$A, B$

C

$C$

Kemudian, Anda ingin menambahkan tipe dari bilangan asli ke bahasa tipe, dan menambahkan kombinator berikut: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & : & N \\ s kamu c c & : & N \to N \\ saya t e r & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

Aturan kesetaraan untuk penambahan adalah:

\begin{array}{lcl} saya t e r saya f z & = & saya \\ saya t e r saya f (s kamu c c e) & = & f (saya t e r saya f e) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} saya t e r & : & SEBUAH \to (SEBUAH \to SEBUAH) \to N \to SEBUAH \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} hal r e d^{'} & = & λ k . saya t e r (z, z) (λ (n, n^{'}) . (s kamu c c n, n)) k \\ hal r e d & = & λ k . s n d (hal r e d^{'} k) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
sumber

Jadi ini kurang dari Turing-lengkap karena pembatasan untuk combinator yang diketik? Bisakah variabel tipe (secara rekursif) menunjukkan fungsi lebih dari variabel tipe (mis. A = D -> E untuk beberapa tipe D dan E)?

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

Neel, terima kasih. Apakah saya benar dalam berpikir bahwa itu mungkin untuk mewakili z, succ dan iter dalam hal S dan K melalui pengkodean angka Gereja?

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@ Xoff: fungsi pendahulunya memiliki definisi waktu linear yang terkenal iter. Ini bisa menjadi objek pertanyaan di cs.stackexchange.com ...

— cody