Saya meninjau secara singkat beberapa area di sini, mencoba untuk fokus pada ide-ide yang akan menarik bagi seseorang dengan latar belakang logika matematika tingkat lanjut.
Teori Model Hingga
Pembatasan paling sederhana dari teori model klasik dari sudut pandang ilmu komputer adalah mempelajari struktur di atas alam semesta yang terbatas. Struktur ini terjadi dalam bentuk basis data relasional, grafik, dan objek kombinatorial lainnya yang muncul di mana-mana dalam ilmu komputer. Pengamatan pertama adalah bahwa beberapa teorema dasar teori model orde pertama gagal ketika dibatasi untuk model terbatas. Ini termasuk teorema kekompakan, teorema kelengkapan Godel, dan konstruksi ultraproduk. Trakhtenbrot menunjukkan bahwa tidak seperti logika orde pertama klasik, kepuasan atas model terbatas tidak dapat diputuskan.
Alat mendasar di area ini adalah lokalitas Hanf, lokalitas Gaifman, dan berbagai variasi pada game Ehrenfeucht-Fraisse. Topik yang dipelajari meliputi logika infinitary, logika penghitungan, logika titik tetap, dll. Selalu dengan fokus pada model yang terbatas. Ada pekerjaan yang berfokus pada ekspresivitas dalam fragmen variabel terbatas dari logika tingkat pertama dan logika ini memiliki karakterisasi melalui permainan kerikil. Arahan lain dari penyelidikan adalah untuk mengidentifikasi sifat-sifat logika klasik yang selamat dari pembatasan model terbatas. Hasil baru-baru ini ke arah itu dari Rossman menunjukkan bahwa teorema pelestarian homomorfisme tertentu masih memegang model yang terbatas.
- Teori Model Hingga , Ebbinghaus dan Kegagalan
- Elemen Teori Model Hingga , Libkin
- Tentang strategi kemenangan dalam permainan Ehrenfeucht-Fraisse , Arora dan Fagin, 1997.
- Teorema pelestarian homomorfisme , Rossman
Proposisional -kalkulusμ
Garis kerja dari akhir 60-an menunjukkan bahwa banyak sifat program dapat diekspresikan dalam ekstensi dari logika proposisional yang mendukung alasan tentang titik tetap. Modalus kalkulus adalah salah satu logika yang dikembangkan pada periode ini yang telah menemukan berbagai aplikasi dalam metode formal otomatis. Banyak metode formal terhubung ke logika temporal, atau logika gaya-Hoare dan banyak dari ini dapat dilihat dari segi μ -kalkulus. Bahkan, saya telah mendengarnya mengatakan bahwa μ- calculus adalah bahasa assembly dari logika temporal.μμμ
Dalam makalahnya yang memperkenalkan -calculus, Kozen memberikan aksioma dan hanya membuktikannya terdengar dan lengkap untuk fragmen logika yang terbatas. Bukti kelengkapan adalah salah satu masalah terbuka besar dalam ilmu komputer logis sampai Walukiewicz memberikan bukti (berdasarkan automata tak terbatas). Teori model
μ- kalkulus memiliki banyak hasil yang kaya. Mirip dengan teorema van Benthem untuk logika modal, Janin dan Walukiewicz membuktikan bahwa μ- kalkulus secara ekuivalen dengan fragmen invarian bisimulasi dari logika urutan kedua monadik. The μμμμμ-kalkulus juga telah ditandai dalam hal permainan paritas dan automata atas pohon tak terbatas. Masalah kepuasan untuk logika ini adalah EXPTIME lengkap dan Emerson dan Jutla menunjukkan bahwa logika memiliki properti model kecil. Bradfield menunjukkan bahwa hierarki pergantian -kalkulus adalah ketat, sementara Berwanger menunjukkan bahwa hierarki variabel juga ketat. Alat klasik penting yang digunakan dalam bidang ini adalah teorema Rabin dan teorema determinasi Martin.μ
- Hasil pada μ proposisionalμ kalkulus , Kozen, 1983
- Dasar-dasar μ -calculus Arnold dan Niwinski, 2001
- Kelengkapan Aksiomatis Kozen tentang Proposisi
μ -Calculus , Walukiewicz 1995
- Logika modal dan μ -calculi , Bradfield and Stirling, 2001
- Hirarki alternatif modal mu-kalkulus sangat ketat , Bradfield, 1996
- Hirarki variabel dari kalkulus mu sangat ketat , Berwanger, E. Grädel, dan G. Lenzi, 2005
Logika Temporal Linier
Logika temporal linier diadopsi dari logika filosofis ke dalam ilmu komputer untuk alasan tentang perilaku program komputer. Itu dianggap logika yang baik karena bisa mengekspresikan properti seperti invarian (tidak adanya kesalahan) dan pemutusan. Teori pembuktian logika temporal dikembangkan oleh Manna dan Pnueli (dan lainnya, kemudian) dalam artikel dan buku mereka. Pengecekan model dan masalah kepuasan untuk LTL keduanya dapat diselesaikan dalam hal automata dibandingkan kata-kata yang tak terbatas.
Pnueli juga membuktikan resuls mendasar tentang LTL dalam makalah aslinya yang memperkenalkan logika untuk alasan tentang program. Vardi dan Wolper memberikan kompilasi formula LTL yang jauh lebih sederhana ke dalam Buchi automata. Koneksi ke logika temporal telah menyebabkan studi yang intens dari algoritma untuk secara efisien memperoleh automata dari LTL, dan untuk penentuan dan pelengkap Buchi automata. Teorema Kamp menunjukkan bahwa LTL dengan modalitas karena secara dan sampai eksplisit setara dengan logika orde pertama monadik dengan relasi urutan. Ada pekerjaan yang sedang berlangsung memperluas hasil ini ke logika atas pesanan linier yang padat dan interval waktu. Etessami dan Wilke mengembangkan variasi game Ehrenfeucht-Fraisse untuk LTL dan menggunakannya untuk menunjukkan bahwa hierarki sampai ketat. Lini pekerjaan lain adalah memperluas LTL untuk menyatakan sewenang-wenangωμμ
- Logika temporal program , Pnueli 1977
- Dari Gereja dan Sebelum ke PSL , Vardi, 2008
- Pendekatan automata-theoretic untuk logika temporal linier , Vardi dan Wolper, 1986
- Logika Temporal Sistem Reaktif dan Bersamaan: Spesifikasi , Manna dan Pnueli
- Sebuah hierarki Hingga dan aplikasi lain dari game Ehrenfeucht-Fraïssé untuk logika temporal , Etessami dan Wilke, 2000
Logika Komputasi-Pohon
μ
Masalah pengecekan model untuk CTL pada struktur hingga adalah dalam waktu polinomial. Masalah pengecekan model untuk CTL * selesai EXPTIME. Aksiomaasi CTL * adalah masalah terbuka yang menantang yang akhirnya diselesaikan oleh Reynolds 2001. Analog dari teorema van Benthem untuk logika modal dan teorema Kamp untuk LTL diberikan untuk CTL * oleh teorema Hafer dan Thomas yang menunjukkan bahwa CTL * sesuai dengan sebuah fragmen logika urutan kedua monadik di atas pohon biner. Karakterisasi selanjutnya oleh Hirschfeld dan Rabinovich adalah bahwa CTL * secara ekuivalen dengan fragmen MSO dengan bisimulasi-invarian dengan kuantifikasi jalur.
- "Kadang-kadang" dan "tidak pernah" ditinjau kembali: pada percabangan versus logika temporal waktu linier , Emerson dan Halpern, 1986
- Tentang Kekuatan Ekspresif CTL , Moller, Rabinovich, 1999
- Logika komputasi pohon CTL * dan quantifier jalur dalam teori monadik dari pohon biner , Hafer dan Thomas, 1987
- Axiomatization dari Logika Pohon Komputasi Lengkap , Reynolds, 2001
Bahasa Kata Tak Terbatas
ω -languages, yang adalah bahasa di mana kata-kata didefinisikan sebagai fungsi dari nomor alami untuk alfabet yang terbatas. Komunitas telah mempelajari sifat-sifat bahasa reguler di atas kata-kata tak terbatas dan mengembangkan beberapa hasil analog dengan kasus kata hingga. Ada beberapa kejutan yang muncul, jadi kita tidak bisa begitu saja mengangkat hasil kata hingga ke kasus kata tak terbatas.
ωωωkata-kata. Selain itu, dengan menggunakan topologi dasar, mereka menunjukkan bahwa setiap properti waktu-linier dapat dinyatakan sebagai persimpangan properti keselamatan dan properti. Hasil ini memiliki konsekuensi praktis yang signifikan karena ini berarti bahwa alih-alih membangun pemeriksa properti yang kompleks, ia cukup untuk membangun pemeriksa keamanan dan keselamatan. Pengurangan lebih lanjut menunjukkan bahwa itu cukup untuk membangun pemeriksa invarian dan pemeriksa penghentian. Karakterisasi safety-liveness diperluas ke pohon oleh Manolios dan Trefler dan baru-baru ini untuk serangkaian jejak, dalam kerangka hyperproperties, oleh Clarkson dan Schneider.
- Kata Tak Terbatas: Automata, Semigroup, Logika dan Game , Perrin dan Pin, 2004
- ω
- ω
- Pada kongruensi sintaksis untuk ω — bahasa , Maler dan Staiger, 1993
Automata pada Kata Tak Terbatas
Di mana ada bahasa, ilmuwan komputer akan memiliki automata. Masukkan teori automata melalui kata-kata tak terbatas dan pohon tak terbatas. Sangat menyedihkan bahwa walaupun automata atas kata-kata tak terbatas muncul dalam dua tahun automata pada kata-kata yang terbatas, topik mendasar ini jarang dicakup dalam kurikulum ilmu komputer standar. Automata atas kata-kata dan pohon yang tak terbatas memberikan pendekatan yang sangat kuat untuk membuktikan kepastian kepuasan bagi keluarga logika yang sangat kaya.
ω
- Decidability dari Teori Orde Kedua dan Automata on Infinite Trees , Rabin, 1969
- Automata pada objek tak terbatas , Thomas, 1988
- Automata: Dari Logika ke Algoritma , Vardi, 2007
Game Tanpa Batas
Permainan logis dan tak terbatas adalah bidang penelitian aktif. Teori-teori permainan muncul dalam ilmu komputer di semua tempat dalam dualitas antara non-determinisme dan paralelisme (pergantian), program dan lingkungannya, kuantifikasi universal dan eksistensial, modalitas kotak dan berlian, dll. Permainan ternyata menjadi cara yang bagus untuk mempelajari properti dari berbagai jenis logika non-klasik yang tercantum di atas.
Seperti halnya kriteria penerimaan untuk automata, kami memiliki kondisi kemenangan yang berbeda untuk permainan dan banyak yang dapat ditunjukkan setara. Karena Anda bertanya tentang hasil klasik, teorema Borel Determinacy dan Gale-Stewart sering terletak secara diam-diam di latar belakang beberapa model permainan yang kami pelajari. Salah satu pertanyaan mendesak dari zaman kita adalah tentang kompleksitas menyelesaikan permainan paritas. Jurdzinski memberikan algoritma peningkatan strategi dan menunjukkan bahwa menentukan pemenang ada di persimpangan kelas kompleksitas UP dan coUP. Kompleksitas yang tepat dari algoritma Jurdzinski terbuka sampai Friedmann memberikannya batas bawah eksponensial pada tahun 2009.
- Memutuskan pemenang dalam permainan paritas adalah di UP ∩ co-UP , Jurdzinski, 1998
- Game untuk μ-calculus , Niwinski dan Walukiewicz, 1996
- Batas Bawah Eksponensial untuk Algoritma Peningkatan Strategi Permainan Paritas seperti yang Kita Ketahui , Friedmann, 2009