Masalah NP-hard pada grafik expander?

Dalam presentasi tahun 2006 berjudul EXPANDER GRAPHS - APAKAH ADA KIRI MISTERI? , Nati Linial mengajukan masalah terbuka berikut:

Yang mana -hard masalah komputasi pada grafik tetap sulit ketika dibatasi untuk grafik expander? $NP$

Sejak itu, Apakah ada kemajuan yang dibuat untuk membuktikan hasil seperti itu untuk masalah ? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Bisakah seseorang menjelaskan mengapa pertanyaan ini menarik? Apakah kita memiliki contoh masalah NP-hard menjadi mudah ketika dibatasi untuk grafik expander?

— Jukka Suomela

@Jukka: Ekspander dapat berupa

regular untuk

kecil (mis.

), namun beberapa masalah NP-hard mudah pada kelas

-max grafik untuk

kecil (misalnya GRAFIK WARNA untuk

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— András Salamon

@ András: Tentu, tapi itu tidak benar-benar terkait dengan properti ekspansi. Biarkan saya ulangi: apakah kita memiliki contoh masalah yang sulit pada grafik

regular tapi mudah pada grafik expander

regular?

d

$d$

d

$d$

— Jukka Suomela

@Jukka: Permainan unik ditunjukkan memiliki algoritma perkiraan waktu polinomial ketika grafik kendala adalah expander [Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08]. Ini tidak diketahui sebagai kasus untuk grafik umum, dan jika UGC benar, sebenarnya tidak ada algoritma waktu polinomial. Saya menganggap ini sebagai motivasi untuk pertanyaan Turki.

— arnab

@ Jukka, motivasi saya adalah untuk memahami hubungan antara sifat-sifat acak dari ekspander dan kekerasan komputasi dari masalah. Sebagai contoh, saya tidak berharap set independen mudah pada ekspander.

— Mohammad Al-Turkistany

Jawaban:

Jika "expander tidak seimbang" dihitung sebagai ekspander untuk keperluan pertanyaan ini (expander tidak seimbang: grafik bipartit , sehingga untuk setiap himpunan bagian , , fraksi dari tepi antara dan adalah tentang $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ), maka ya, banyak masalah pada ekspander (misalnya, masalah kepuasan kendala) sulit untuk diperkirakan.

Secara khusus, bukti dari dua kueri, kesalahan rendah, Teorema PCP [dengan Ran Raz pada 2008] membuat grafik expander.

— Dana Moshkovitz
sumber

Di baris terakhir Anda, maksud Anda makalah Anda membuat ekspander yang tidak seimbang, karena Anda mungkin punya jawaban untuk pertanyaan ini: cstheory.stackexchange.com/questions/592/…

— Suresh Venkat

Suresh: ya, makalah ini membangun ekspander / sampler / ekstraktor yang tidak seimbang, tetapi tidak lebih baik dari konstruksi yang diketahui seperti itu.

— Dana Moshkovitz

Saya menduga mungkin mudah untuk menunjukkan bahwa banyak masalah yang sebenarnya (dan mungkin masalah perkiraan yang kuat juga) adalah NP-hard pada ekspander. Idenya adalah bahwa jika Anda mengambil grafik derajat konstanta sewenang-wenang pada simpul, dan menambahkan ekspander pada simpul disjoint, dan menempatkan kecocokan antara dan , maka Anda mendapatkan ekspander. Alasannya adalah bahwa setiap set kurang dari setengah simpul, akan memiliki fraksi konstan dari tepi yang cocok di luarnya, atau persimpangan dengan akan memiliki paling banyak mengatakan fraksi dari simpul $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

Karena Anda dapat memilih sewenang-wenang (misalnya, ambil grafik acak), Anda dapat mengetahui solusi optimal untuk masalah NP Anda di , dan karenanya mungkin ada harapan (tergantung pada masalahnya), yang memberikan solusi untuk grafik gabungan yang bisa Anda dapatkan setidaknya solusi perkiraan untuk $H$ $H$ $G$ . Tapi saya tidak memverifikasi ini untuk masalah konkret.

$1/\log n$

— Boaz Barak
sumber