Berapa banyak pemotongan tepi yang harus dimiliki DAG?

Pertanyaan berikut ini terkait dengan optimalitas dari Bellman-Ford - t terpendek algoritma pemrograman jalan dinamis (lihat posting ini untuk sambungan). Juga, jawaban positif akan menyiratkan bahwa ukuran minimal dari program percabangan monoton nondeterministik untuk masalah STCONN adalah Θ ( n 3 ) . $s$$t$$\Theta(n^3)$

Misalkan menjadi DAG (grafik asiklik langsung) dengan satu simpul sumber s dan satu simpul target t . Sebuah k - cut adalah satu set tepi, yang removal menghancurkan semua s - t jalur panjang ≥ k ; kita asumsikan bahwa ada jalan seperti di G . Perhatikan bahwa jalur s - t pendek tidak perlu dihancurkan.$G$$s$$t$$k$$s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

Pertanyaan: Apakah harus memiliki setidaknya (tentang) k disjoint k -cuts? $G$$k$ $k$

Jika tidak ada jalur - t yang lebih pendek dari k , jawabannya adalah YA, karena kami memiliki fakta min-max berikut yang diketahui (dual untuk teorema Menger's ) yang dikaitkan dengan Robacker ^∗ . Potongan s - t adalah potongan k untuk k = 1 (menghancurkan semua jalur s - t ).$s$$t$$k$^$\ast$$s$$t$$k$$k=1$ $s$$t$

Fakta: Dalam setiap diarahkan grafik, yang maksimum jumlah tepi-menguraikan - t luka adalah sama dengan minimum panjang dari s - t jalan. $s$$t$$s$$t$

Perhatikan bahwa ini berlaku bahkan jika grafik tidak asiklik.

Bukti: Secara sepele, minimum adalah paling tidak maksimum, karena setiap jalur - t memotong setiap s - t yang terpotong. Untuk melihat persamaan, misalkan d ( u ) menjadi panjang jalur terpendek dari s ke u . Biarkan U r = { u : d ( u ) = r } , untuk r = 1 , … , d ( t ) , dan biarkan E $s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$menjadi himpunan tepi meninggalkan . Jelaslah bahwa himpunan E r disjoint, karena himpunan U r adalah seperti itu. Jadi, tetap untuk menunjukkan bahwa masing-masing E r adalah s - t cut. Untuk menunjukkan hal ini, mengambil sewenang-wenang s - t path p = ( u 1 , u 2 , ... , u m ) dengan u 1 = s dan u m = t . Sejak $U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$$u_1=s$$u_m=t$ , urutan jarak d ( u 1 ) , … , d ( u m ) harus mencapai nilai d ( u m ) = d ( t ) dengan mulai dari d ( u 1 ) = d ( s ) = 0 dan meningkatkan nilainya paling banyak$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$di setiap langkah. Jika beberapa nilai menurun, maka kita harus mencapai nilai d ( u i ) yang terakhir. Jadi, harus ada j di mana lompatan dari d ( u j ) = r ke d ( u j + 1 ) = r + 1 terjadi, artinya tepi ( u j , u j + 1 ) milik E r , seperti diinginkan. QED $d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$$E_r$

Tetapi bagaimana jika ada juga jalur yang lebih pendek (dari )? Ada petunjuk / referensi? $k$

---

JT Robacker, Teorema Min-Max pada Rantai Terpendek dan Potongan Terpisah dari Jaringan, Memorandum Penelitian RM-1660, The RAND Corporation, Santa Monica, California, [12 Januari] 1956. $^{\ast}$

---

EDIT (sehari kemudian): Via argumen singkat dan sangat bagus, David Eppstein menjawab pertanyaan awal di atas dalam negatif : yang lengkap DAG (a turnamen transitif ) tidak dapat memiliki lebih dari empat menguraikan k -cuts! Bahkan, ia membuktikan fakta struktural yang menarik berikut , untuk k tentang $T_n$$k$$k$ . Potonganmurnijika tidak mengandung insiden tepisataut.$\sqrt{n}$$s$$t$

Setiap cut murni dalam T n berisi lintasan panjang k . $k$$T_n$$k$

Ini, khususnya, menyiratkan bahwa setiap dua potong- murni harus berpotongan! Tapi mungkin masih ada banyak k- cut murni yang tidak tumpang tindih "terlalu banyak". Karenanya, pertanyaan santai (konsekuensi untuk STCONN akan sama ):$k$$k$

Pertanyaan 2: Jika setiap potongan murni memiliki ≥ M edge, apakah grafik harus memiliki tentang Ω ( k ⋅ M ) edge? $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

Koneksi dengan kompleksitas STCONN berasal dari hasil dari Erdös dan Gallai yang satu memiliki untuk menghapus semua tapi tepi dari (tidak diarahkan) K m untuk menghancurkan semua jalur panjang k . $(k-1)m/2$$K_m$$k$

---

EDIT 2: Saya sekarang mengajukan Pertanyaan 2 di mathoverflow .

Jawaban singkat: tidak.

$G$$n$$s$$t$$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

$X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$