Keaslian grafik k-reguler

Diketahui bahwa NP-complete untuk menguji apakah siklus Hamilton ada dalam grafik 3-reguler, bahkan jika itu adalah planar (Garey, Johnson, dan Tarjan, SIAM J. Comput. 1976) atau bipartit (Akiyama, Nishizeki, dan Saito, J. Inform. Proc. 1980) atau untuk menguji apakah siklus Hamilton ada dalam grafik 4-reguler, bahkan ketika itu adalah grafik yang dibentuk oleh pengaturan kurva Jordan (Iwamoto dan Toussaint, IPL 1994).

Untuk k yang lain diketahui NP-lengkap untuk menguji Hamiltonicity grafik k-regular?

Kasus khusus yang saya minati adalah grafik 6-reguler, dengan syarat tambahan bahwa grafik tersebut memiliki jumlah ganjil simpul. Jika kasus ini dapat ditunjukkan sebagai NP-lengkap (atau jumlahnya banyak) itu akan berdampak pada masalah menggambar grafik yang dijelaskan dalam http://arxiv.org/abs/1009.0579 . Kondisi "jumlah ganjil simpul" adalah karena apa yang ingin saya ketahui adalah, untuk grafik 6-reguler, apakah grafik tersebut mengandung siklus Hamiltonian atau faktor 2 bipartit; tetapi memiliki jumlah ganjil simpul menghilangkan kemungkinan faktor 2 bipartit hanya menyisakan kemungkinan siklus Hamilton.

Langkah pertama anggaplah grafik memiliki jumlah titik yang genap. Pada tahap kedua, kita akan memperluas konstruksi, sehingga jika k genap, maka kita akan menunjukkan bagaimana mengubah grafik menjadi memiliki jumlah ganjil simpul.

Solusinya adalah penyempurnaan dari ide yang disarankan dalam jawaban lain.

Bagian pertama

Klaim: Diberikan regular graph dengan jumlah simpul genap, orang dapat menghitung grafik yang merupakan -reguler, dan adalah Hamilton jika if adalah Hamilton.G H ( k + 1 $k$$G$$H$$(k+1)$$H$$G$

Bukti: Ambil dua salinan grafik regular , sebut saja mereka dan . Untuk simpul , biarkan dan menjadi salinan yang sesuai. Buat klik dengan simpul untuk . Pilih dua simpul dan di klik ini, dan hapus tepi di antara mereka. Selanjutnya, sambungkan ke dan ke . Misalkan menunjukkan komponen ini untuk .$k$$G$$G_1$$G_2$$v \in V(G)$$v_1$$v_2$$k+2$$v$$v'$$v''$$v_1$$v'$$v_2$$v''$$C(v)$$v$

Ulangi ini untuk semua simpul , dan biarkan menunjukkan grafik yang dihasilkan.$G$$H$

Jelas, grafik adalah reguler. Kami mengklaim bahwa adalah Hamiltonian jika dan hanya jika adalah Hamiltonian.$H$$k+1$$H$$G$

Satu arah jelas. Mengingat siklus Hambiltonian di , kita bisa menerjemahkannya ke dalam siklus di . Memang, setiap kali siklus mengunjungi titik , kami menafsirkannya sebagai bergerak dari ke (atau sebaliknya) saat mengunjungi semua simpul di . Dengan demikian, hasil ini dalam siklus Hamiltonian di . (Perhatikan, bahwa ini adalah tempat kami menggunakan fakta bahwa jumlah simpul asli genap - jika siklusnya ganjil ini rusak.)$G$$H$$v$$v_1$$v_2$$C(v)$$H$

Adapun arah lain, mempertimbangkan siklus Hamiltonian di . Pasti bahwa dikunjungi oleh bagian dari siklus yang dimulai pada , mengunjungi semua simpul dan berangkat dari (atau opsi simetris). Memang, siklus Hamilton tidak bisa masuk dan pergi dari sama . Dengan demikian, siklus Hamiltonian di sebagai interpretasi alam sebagai siklus Hamiltonian di . QED.$H$$C(v)$$v_1$$C(v)$$v_2$$v_i$$H$$G$

Bagian kedua

Sebagaimana dicatat di bawah oleh Tsuyoshi, grafik 3-reguler memiliki jumlah titik genap. Dengan demikian, masalahnya sulit untuk grafik reguler dengan jumlah genap genap. Yaitu, pengurangan di atas menunjukkan masalah sulit untuk setiap grafik regular, meskipun grafik yang dihasilkan memiliki jumlah genap genap.$3$$k$

Kami mengamati, bahwa ini menyiratkan bahwa masalah berikut ini adalah NP-hard.

Masalah A: Memutuskan apakah grafik k-reguler dengan jumlah simpul genap memiliki siklus Hamiltonian melalui tepi tertentu .$G$$e$

Namun, jika bahkan kemudian diberikan sebuah instance kita dapat menguranginya menjadi masalah yang diinginkan. Memang, kami mengganti tepi dengan klik simpul, seperti sebelum menghapus satu tepi di klik, dan menghubungkan dua titik akhir ke titik akhir , dan menghapus dari grafik. Jelas, untuk grafik baru :$k$$(G, e)$$e$$k+1$$e$$e$$H$

• $H$ adalah teratur.$k$
• $H$ adalah Hamiltonian iff adalah Hamiltonian dengan siklus menggunakan .$G$$e$
• $H$ memiliki simpul => memiliki jumlah simpul ganjil.$|V(G)| + k+1$$H$

Perhatikan, bahwa grafik regular, untuk odd, harus memiliki jumlah simpul yang genap (hitung saja tepinya), Dengan demikian, tidak ada grafik regular dengan jumlah simpul ganjil, dengan menjadi ganjil.$k$$k$$k$$k$

Hasil

NP-Hard untuk memutuskan apakah grafik regular memiliki siklus Hamiltonian untuk . Masalahnya tetap NP-Hard bahkan jika grafik memiliki jumlah simpul aneh.$k$$k\geq 3$

Tentu saja, selalu mungkin aku membuat kesalahan bodoh ...

Olahraga

Jika kita ingin pergi dari grafik yang regular ke grafik yang (katakanlah) regular maka grafik yang dihasilkan dari penerapan reduksi di atas berulang kali menghasilkan grafik dengan ukuran yang tergantung secara eksponensial pada . Tunjukkan, yang diberi grafik regular , dan , kita dapat membuat grafik yaitu -reguler dan ukurannya polinomial dalam dan , di mana adalah jumlah simpul dari . Lebih jauh, adalah Hamiltonian jika dan hanya jika adalah Hamiltonian.$k$$2k$$k$$k$$G$$i >2$$H$$(k+i)$$k,i$$n$$n$$G$$G$$H$

(Saya memposting ini sebagai latihan, bukan pertanyaan, karena saya tahu bagaimana menyelesaikannya.)

EDIT: Bukti ini salah, seperti yang ditunjukkan dalam komentar. (Haruskah saya menghapus posting?)

Secara intuitif rasanya seperti jika Hamiltonicity adalah NP-hard untuk grafik k-regular, maka itu juga harus NP-hard untuk grafik reguler (k + 1). Ini pengurangan bagian belakang amplop, yang menurut saya bagus, tapi tentu saja ada kesalahan.

Biarkan G menjadi grafik k-reguler. Biarkan G 'menjadi grafik produk Cartesian dari G dan keunggulan. Dengan kata lain, G 'adalah grafik yang memiliki dua salinan G, dan setiap titik terhubung ke salinannya. G 'sekarang (k + 1) teratur, karena setiap dhuwur mendapat 1 tepi ekstra.

Klaim: G memiliki siklus Hamilton jika dan hanya jika G memiliki siklus Hamilton.

Bukti: Jika G memiliki siklus Hamilton, mudah untuk melihat bahwa G 'juga memiliki siklus. Say (u, v) adalah keunggulan dalam siklus Hamilton. Lintasi siklus dari u ke v tanpa menggunakan tepi itu, dan sekarang alih-alih menggunakan tepi, pergi ke v 'dari v, di mana v' adalah titik yang sesuai dengan v dalam salinan G. Sekarang lintasi siklus dalam urutan terbalik dalam grafik ini, yang akan membawa kita kembali ke u '. Sekarang beralih dari 'ke', yang melengkapi siklus.

Jika G 'memiliki siklus Hamiltonian mulai dari simpul u, pertimbangkan urutan traversal yang sama pada G. Setiap kali gerakan dilakukan ke simpul yang berdekatan dalam grafik yang sama, kami membuat langkah yang sama di G. Setiap kali gerakan dilakukan ke titik yang sesuai pada grafik lainnya, kami tidak melakukan apa pun. Karena setiap gerakan valid pada grafik G, dan siklus berakhir pada simpul u, ini adalah siklus Hamilton.