Mengikuti saran Kaveh, saya menempatkan komentar saya sebagai jawaban (diperluas).
Mengenai Q1 , kata hati-hati adalah dalam urutan: bahkan kedalaman logaritmik jika jauh dari dipahami, tidak berbicara tentang poli-logaritma. Jadi, di dunia non-monoton, masalah sebenarnya jauh lebih tidak ambisius:
Beating Log-depth Problem: Buktikan batas bawah super-linear (!) Untuk sirkuit
NC1
Masalahnya tetap terbuka (untuk saat ini lebih dari 30 tahun) bahkan untuk linear -circuits. Ini adalah sirkuit fanin- 2 atas dasar { ⊕ , 1 } , dan mereka menghitung transformasi linear f ( x ) = A x lebih dari G F ( 2 ) . Penghitungan mudah menunjukkan bahwa hampir semua matriks A membutuhkan
gerbang Ω ( n 2 / log n ) , dalam kedalaman apa pun.
NC12{ ⊕ , 1 }f( x ) = A xG F( 2 )SEBUAHΩ ( n2/ logn )
Mengenai Q 2 : Ya, kami memiliki
beberapa langkah aljabar / kombinatorik, batas bawah yang akan mengalahkan sirkuit log-depth. Sayangnya, sejauh ini, kami tidak dapat membuktikan batas yang cukup besar pada langkah-langkah ini. Katakanlah, linear -circuits, seperti mengukur adalah kekakuan R A ( r ) dari matriks A . Ini adalah jumlah entri A terkecil yang perlu diubah untuk mengurangi peringkat menjadi r . Mudah untuk menunjukkan bahwa R A ( r ) ≤ ( n -NC1 RSEBUAH(r)AAr berlaku untuk setiap boolean n × n matriks A , dan Valiant (1977) telah menunjukkan bahwa ikatan ini ketat untuk hampir semua matriks. Untuk mengalahkan sirkuit log-depth, cukup untuk memperlihatkan urutanmatriksboolean n × n A sedemikian rupa sehinggaRA(r)≤(n−r)2n×nAn×nA
untuk konstanta ϵ , δ > 0 .
RA(ϵn)≥n1+δϵ,δ>0
Yang terbaik yang kita ketahui sejauh ini adalah matriks dengan R A ( r ) ≥ ( n 2 / r ) log ( n / r ) . Untuk Sylvester matriks (yaitu inner matriks produk), yang batas bawah dari Ω ( n 2 / r ) adalah mudah untuk menunjukkan .
ARA(r)≥(n2/r)log(n/r)Ω(n2/r)
Kami memiliki langkah-langkah kombinatorial untuk umum (non-linear) -circuits, serta Untuk bipartit n × n
graph G , biarkan t ( G ) menjadi nomor terkecil t sehingga G dapat ditulis sebagai persimpangan t bipartit grafik, masing-masing menjadi sebuah serikat paling t grafik bipartit lengkap. Untuk mengalahkan sirkuit log-depth umum, itu akan cukup untuk menemukan urutan grafikNC1n×nGt(G)tGtt
untuk konstanta ϵ > 0t(Gn)≥nϵϵ>0
(lihat, misalnya di sini tentang bagaimana hal ini terjadi). Sekali lagi, hampir semua grafik memiliki
. Namun, yang terbaik tetap batas bawah t ( G ) ≥ log 3 n untuk matriks Sylvester, karena Lokam .
t(G)≥n1/2t(G)≥log3n
Akhirnya, izinkan saya menyebutkan bahwa kita bahkan memiliki ukuran kombinatorial "sederhana" (kuantitas) yang lebih rendah (linier) yang terikat di bawahnya yang akan menghasilkan bahkan batas bawah eksponensial (!) Untuk sirkuit non-monoton. Untuk bipartit graph G , biarkan c ( G ) menjadi jumlah terkecil fanin- 2 union ( ∪ ) dan persimpangan ( ∩ ) operasi diperlukan untuk menghasilkan G ketika mulai dari bintang; sebuah bintang adalah himpunan sisi-sisi yang menghubungkan satu simpul dengan semua simpul di sisi lainnya. Hampir semua grafik memiliki c ( G ) = Ω ( n 2n×nGc(G)2∪∩G . Di sisi lain, batas bawahc(G)=Ω(n2/logn)
untuk konstanta ϵ > 0c(Gn)≥(4+ϵ)nϵ>0
akan berarti batas bawah di non-monoton kompleksitas rangkaian dari fungsi boolean eksplisit f G dari N variabel. Jika G adalah n × m grafik dengan m = o ( n ) , maka bahkan batas bawah c ( G n ) ≥ ( 2 + ϵ ) n sudah cukup (lagi, lihat, misalnya di sini tentang bagaimana hal ini terjadi). Batas bawah c ( GΩ(2N/2)fGNGn×mm=o(n)c(Gn)≥(2+ϵ)n dapat ditampilkan untuk grafik yang relatif sederhana. Masalahnya, bagaimanapun, adalah melakukan ini dengan " - ϵ " diganti dengan " + ϵ ". Tindakan yang lebih kombinatorial menurunkan-bounding kompleksitas sirkuit (termasuk A C C -circuits) dapat ditemukan dalam
buku.
c(G)≥(2−ϵ)n−ϵ+ϵACC
PS Jadi, apakah kita dengan faktor konstan dari menunjukkan P ≠ N P ? Tentu saja tidak. Saya menyebutkan ukuran terakhir ini c ( G ) hanya untuk menunjukkan bahwa seseorang harus memperlakukan "amplifikasi" (atau "pembesaran") dari batas bawah dengan porsi skeptisisme yang sehat: meskipun batas-batas yang kita butuhkan terlihat "polos", jauh lebih kecil ( linear) daripada hampir semua grafik membutuhkan (kuadratik), kesulitan yang melekat untuk membuktikan batas bawah (lemah) mungkin bahkan lebih besar. Tentu saja, setelah menemukan ukuran kombinatorial, kita dapat mengatakan sesuatu tentang sifat fungsi apa yang membuat mereka sulit dikomputasi. Ini mungkin berguna untuk membuktikan tidak langsung2+ϵP≠NPc(G)batas bawah: beberapa kelas kompleksitas berisi fungsi yang membutuhkan sirkuit atau rumus besar. Tetapi tujuan utamanya adalah menghasilkan fungsi keras eksplisit , yang definisinya tidak memiliki "bau algoritmik", tidak memiliki aspek kompleksitas tersembunyi.