Tentang Inverse 3-SAT

Konteks : Kavvadias dan Sideri telah menunjukkan bahwa masalah Inverse 3-SAT adalah coNP Lengkap: Diberikan satu set model pada n variabel, apakah ada rumus 3-CNF sehingga ϕ adalah set model yang tepat? Formula kandidat langsung muncul yang merupakan gabungan dari semua 3-klausa yang dipenuhi oleh semua model dalam ϕ .$\phi$$n$$\phi$$\phi$

Karena mengandung semua 3 klausa yang disiratkannya, formula kandidat ini dapat dengan mudah diubah menjadi rumus setara yang 3-tertutup di bawah resolusi - 3-penutupan formula adalah bagian dari penutupannya di bawah resolusi yang hanya berisi klausul dari ukuran 3 atau kurang. Rumus CNF ditutup dalam resolusi jika semua resolusi yang mungkin dimasukkan oleh klausa rumus - klausa c 1 dimasukkan oleh klausa c 2 jika semua literal dari c 2 berada di c 1 .$F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Mengingat , tugas parsial dari variabel seperti yang saya bukanlah bagian dari setiap model φ .$I$$I$$\phi$

Hubungi , rumus induksi dengan menerapkan saya ke F φ : Setiap klausul yang berisi literal yang mengevaluasi untuk t r u e bawah saya dihapus dari rumus dan setiap literal yang mengevaluasi f sebuah l s e bawah saya akan dihapus dari semua klausul .$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Hubungi , rumus yang berasal dari F ϕ | Saya dengan semua kemungkinan resolusi 3-terbatas (di mana resolvent dan operan memiliki paling banyak 3 literal) dan subsumptions.$G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Pertanyaan : Apakah 3-ditutup di bawah resolusi?$G_{\phi|I}$

Jawab: Ya (walaupun adalah bagian dari beberapa model ϕ )$I$$\phi$

Biarkan set klausa yang berasal dari F ϕ ∪ F ϕ | I dengan semua kemungkinan resolusi dan subtump 3-terbatas ( R | I adalah penutupan 3-terbatas dari F ϕ ∪ F ϕ | I ). Mengingat c klausa yang tersirat oleh F ϕ , maka ada setidaknya satu subset dari R | Saya yang klausa menyiratkan c . Nama R c subset seperti itu.$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Misalkan properti berikut: Untuk semua c tersirat oleh F ϕ sedemikian rupa sehingga | c | Saya | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

sedemikian rupa | R c | ≤ k ⇒ c | Saya digolongkan oleh beberapa klausa ∈ G ϕ | Saya$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Di sinilah pengulangan dimulai. Diberikan tersirat oleh F ϕ sedemikian rupa sehingga | c | Saya | ≤ 3 , yaitu c | Saya ∈ 3-penutupan F φ | Aku .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. . Jika ∃ R c ⊆ R | I / | R c | = 1 lalu R c = { d } ( d ∈ F ϕ ∪ F ϕ | Saya merangkum c ) dan c | Saya digolongkan oleh d | I ∈ F ϕ | I (perhatikan bahwa setiap klausa F ϕ |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$digolongkan oleh beberapa klausul ). Jadi P ( 1 ) .$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Misalkan untuk k ≥ 1 . Jika ∃ R c ⊆ R | Saya sedemikian rupa | R c | ≤ k + 1 (dan tidak ada lainnya R c ukuran 1 sehingga c ∉ F φ dan | c | > 3 ) maka anggaplah c = ( α β gamma L I ) di mana α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ adalah literal yang tidak diatur oleh I dan L I adalah himpunan bagian dari literal yang semuanya dievaluasi menjadi 0 di bawah I ( L I ≠ ∅ ) , yaitu c | I = ( α β γ ) , dengan α , β , γ belum tentu berbeda. $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Hapus klausa dari R c sedemikian rupa sehingga | d i | Saya | < | d i | ≤ 3 , dengan kata lain, seperti yang d i berisi beberapa literal dari L I (ada setidaknya satu klausul tersebut dalam R c karena L I ≠ ∅ ) dan | d i | Saya | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. Ukuran set yang tersisa adalah ≤ k . Jika klausa tertentu c ′ = ( α β γ L ′ I ) diimplikasikan oleh R c ∖ d i (di mana L ′ I adalah himpunan bagian dari semua yang dievaluasi menjadi 0 di bawah I ) maka | c ′ | Saya | = 3 dan ∃ R c ′ = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ sedemikian rupa | R c ′ | ≤k. OlehP(k), c ′ | I =(αβγ)kemudian digolongkan oleh beberapa klausa∈ G ϕ | I , menginduksiP(k+1)untukc.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Jika mengandung ˉ α atau ˉ β atau ˉ γ lalu d i | Saya tidak berguna untuk menyiratkan [beberapa klausa yang termasuk] c . Kemudian R c ∖ d i menyiratkan c , menginduksi P ( k + 1 ) seperti yang ditunjukkan sebelumnya.$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Jika berlangganan c | Saya kemudian P ( k + 1 ) puas untuk c .$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Jika tidak berlangganan c | I dan tidak mengandung ˉ α atau ˉ β atau ˉ γ maka d i | I = ( x ) atau d i | I = ( a x ) atau d i | I = ( x y ) , di mana x dan y ∉ { α β $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ Dan tidak diatur oleh I , dan sebuah ∈ { a ß gamma } .$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Jika maka R c ∖ d i menyiratkan ( ˉ x α β γ L I ) (ingat bahwa menyiratkan klausa tertentu C berarti menyiratkan klausa yang merangkum C ). Karena ada resolusi dengan d i | I = ( x ) karena operan menghilangkan ˉ x dari operan lainnya maka tidak ada klausa R c ∖ d $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$mengandung (karena R c ∖ d i ⊆ R | I yang merupakan penutupan 3-terbatas dari F ϕ ∪ F ϕ | I ). Kemudian R c ∖ d i menyiratkan ( α β γ L I ) , menginduksi P ( k + 1 ) seperti yang ditunjukkan pada Poin (4).$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Jika maka R c ∖ d i menyiratkan ( ˉ x α β γ L I ) . Ganti ˉ x oleh seorang di setiap klausul kemungkinan R c ∖ d i (jika klausul baru dimasukkan oleh beberapa klausul dalam R | I , menjaga klausul subsuming bukan Pokoknya, klausa menggantikan dalam. R | I ). Nama R $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ set yang dihasilkan ( R c , d i ⊆ R | I ). Kemudian R c , d i menyiratkan(aßgamma L I ), menginduksiP(k+1)seperti di atas.$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Jika maka R c ∖ d i menyiratkan ( ˉ x α β γ L I ) dan ( ˉ y α β γ L I ) . Ganti ˉ x demi y pada setiap klausa yang mungkin dari R c ∖ d i (seperti di atas, jika klausa baru dimasukkan oleh beberapa klausa dalam R |$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$, pertahankan klausa subsuming saja) Nama himpunan yang dihasilkan ( R c , d i ⊆ R | I ). Kemudian R c , d i menyiratkan ( y α β γ L I ) . Karena itu menyiratkan juga ( ˉ y α β γ L I ) maka itu menyiratkan resolvent ( α β γ L I ) , menginduksi $R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ .$P(k+1)$

Dengan pengulangan ini, setiap klausa penutupan 3 dari F ϕ | Saya digolongkan oleh beberapa klausa ∈ G ϕ | Saya (cara lain berlaku juga). Lalu G ϕ | Saya sesuai dengan 3-penutupan F clos | Aku .$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

$F_\phi$$F_1$

$F_\phi$