Grafik kecil dengan celah antara bilangan kromatik dan vektor?

12

Saya mencari grafik kecil yang bilangan vektor kromatiknya lebih kecil dari angka kromatik, . $G$ $\chi_v(G)<\chi(G)$

( memiliki vektor berwarna jumlah jika ada tugas , di mana intuitif vektor terkait dengan simpul tetangga terpisah jauh Persyaratannya adalah. . Misalnya, untuk , simpul segitiga sudah mencukupi.) $G$ $q$ $x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$ $\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$ $q=3$

Nomor vektor kromatik grafik tidak lebih besar dari angka kromatik: . Contoh diketahui dari grafik dengan . (Makalah asli oleh Karger, Motwani, Sudan [JACM, 45: 246-265] ( manuskrip ) menunjukkan grafik Kneser umum, makalah yang lebih baru menggunakan konstruksi berdasarkan vektor satuan acak). $\chi_v(G)\leq \chi(G)$ $\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$

Saya pikir saya punya contoh grafik dengan dan (berdasarkan perhitungan komputer). Grafik ini memiliki 20 simpul dan 90 tepi. $K$ $\chi_v(K)=4$ $\chi(K)=8$

Apakah ada contoh yang lebih kecil? Jalan yang menggiurkan adalah untuk menyediakan vektor konkret 3-warna dari grafik Chvatal atau Grötzsch, jika binatang seperti itu ada.

( tidak perlu menjadi integer, tapi akan menyenangkan Update:. Seperti yang ditunjukkan di bawah ini, kasus nonintegral memang mudah Terima kasih..) $\chi_v$

Pembaruan: Grötzsch dan Chvátal

Saya tidak bisa menahan diri untuk tidak memikirkan vektor 3-mewarnai grafik Chvátal dan Grötzsch.

Grafik Grötsch dapat berupa vektor 3-warna sebagai berikut: Letakkan derajat lima simpul di kutub Utara. Node 5 derajat-4 ditempatkan secara merata pada garis lintang yang sama, sekitar 77 derajat dari Utara: bayangkan sebuah pentragram yang dilukis di belahan bumi utara Bumi. 5 node yang tersisa (derajat 3) berakhir di belahan bumi Selatan, sekitar 135 derajat dari Utara. Memiliki garis bujur yang sama dengan 5 lainnya. (Saya akan mengunggah gambar saat saya punya, tetapi lebih sulit untuk menggambar garis geodesik di TikZ daripada yang saya kira.)

Menurut pemecah SDP, Chvátal juga mengakui vektor 3-pewarnaan, tetapi hasilnya hanya sekelompok vektor dalam 5 dimensi yang saya kesulitan menafsirkannya.

(Upaya ketiga gagal: Terinspirasi oleh konstruksi Yury, ambil 5-siklus dan tambahkan titik puncak yang berdekatan dengan yang lain. Grafik ini memiliki nomor berwarna 4. Tetapi menurut pemecah saya itu bukan vektor 3-colourable.)

— Thore Husfeldt
sumber

1

Bisakah Anda memberikan tautan atau definisi untuk nomor berwarna vektor?

— Suresh Venkat

4

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5})

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5)$

C_{5}

$C_5$

C_{5}

$C_5$

G

$G$

χ_{v} (G) \neq χ (G)

$\chi_v(G) \neq \chi(G)$

7

$\chi_v(G)$ $G=C_5$

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5}) . [Lovász]

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$

$\chi_v(G)$ $G_1$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $G_2=K_5$ $G$ $G_1$ $G_2$

\begin{aligned} χ (G) & = max (χ (G_{1}), χ (G_{2})) = χ (G_{1}) = 6. \\ χ_{v} (G) & = max (χ_{v} (G_{1}), χ_{v} (G_{2})) = max (2 \cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{aligned}

$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$

— Yury
sumber

3

Di sini disematkan grafik Grötzsch pada unit sphere: masukkan deskripsi gambar di sini Ini sesuai dengan pewarnaan vektor dengan cara yang jelas; misalnya, simpul di kutub utara diwarnai dengan vektor (0,0,1).

Grafik Grötsch memiliki 3 jenis node. Gelar 5 node tunggal (di Utara). Lima derajat 4 node (di belahan bumi utara, sama dengan N, Anda bisa melihat 3 dari mereka). Lima derajat 3 node (di belahan bumi Selatan, sama dengan N, Anda dapat melihat 3 dari mereka).

N terhubung ke 5 tetangganya di belahan bumi Selatan dengan tepi hijau. (Perhatikan bahwa tepi hijau terlihat seperti insiden pada derajat 4-simpul di belahan bumi Utara, tetapi itu adalah artefak dari penanaman.)

Dilihat dari atas, Anda dapat melihat pentagram yang dijelaskan oleh node derajat 4, mirip dengan pada di pesawat: $C_5$ masukkan deskripsi gambar di sini

Akhirnya, pemandangan dari atas kutub Selatan: masukkan deskripsi gambar di sini

Jika perhitungan saya dapat dipercaya, semua simpul yang berdekatan berada lebih dari 120 derajat dari satu sama lain, jadi ini merupakan vektor 3-warna yang valid. Grafik Grötzsch adalah 4-chromatic. 11 simpul, 20 tepi. Saya sangat senang dengan contoh ini karena pewarnaan vektor dalam 3 dimensi, untuk Anda dapat memvisualisasikannya. (Dan gambar hyperplanes acak untuk menjelaskan algoritma pewarnaan grafik KMS.)

— Thore Husfeldt
sumber