Perhatian: Ini adalah jawaban parsial berdasarkan dugaan dan desas-desus! Sedangkan masalah David Eppstein yang lebih umum adalah NP-complete, mungkin yang ini ada di P.
Katakanlah grafik bipartit dengan adalah "UPMX" jika dapat diperpanjang ke grafik dengan pencocokan sempurna yang unik. Berikut adalah beberapa kondisi yang diperlukan untuk UPMX:| A | = | B | = n( A ∪ B , E)| A | = | B | =n
- itu tidak boleh mengandung 2 pasangan yang sempurna,
- urutan derajat A, ketika diurutkan dalam urutan yang meningkat, harus sesuai komponen , dan juga untuk B. Saya akan menyebutnya "kondisi derajat."≤ ( 1 , 2 , . . . , N )
Sejauh ini, saya belum dapat menemukan contoh di mana grafik memenuhi kondisi ini, tetapi gagal menjadi UPMX. Kalau begitu, mungkin mereka sudah cukup. Orang mungkin membuktikan ini dengan algoritma berikut:
- jika grafik memiliki> 1 kecocokan sempurna, kembalikan "bukan UPMX"
- jika grafik gagal pada kondisi derajat, kembalikan "bukan UPMX"
- jika grafik memiliki = 1 pencocokan sempurna, kembalikan "UPMX"
- kalau tidak, mungkin kita bisa menunjukkan itu adalah UPMX. Mungkin algoritma berikut dapat membuktikannya:
- sedangkan grafik memiliki tepi,≤ ( n + 12) -2
- temukan beberapa keunggulan baru e yang tambahannya tidak menciptakan kecocokan yang sempurna dan tidak melanggar kondisi derajat; tambahkan e ke grafik
- sekarang grafik memiliki tepi dan tidak ada yang cocok sempurna, dan memenuhi kondisi derajat. Saya pikir itu tidak terlalu sulit untuk menunjukkan itu adalah UPMX, maka grafik aslinya juga demikian.( N+12) -1
Anda dapat menandai tepi baru mana yang akan menciptakan pencocokan sempurna dengan menggunakan teorema Hall, dan tidak sulit untuk mengkarakterisasi tepi baru mana yang akan melanggar batas derajat. Sayangnya, meskipun benar bahwa edge dari tipe yang tepat selalu ada, saya belum dapat membuktikannya.