Apakah ada batasan alami logika VO yang menangkap P atau NP?


12

Kertas

  • Lauri Hella dan José María Turull-Torres, Komputasi kueri dengan logika tingkat tinggi , TCS 355 197–214, 2006. doi: 10.1016 / j.tcs.2006.01.009

mengusulkan logika VO, variabel-order logic. Ini memungkinkan kuantifikasi atas pesanan atas variabel. VO cukup kuat dan dapat mengungkapkan beberapa pertanyaan yang tidak dapat dihitung. (Seperti yang ditunjukkan oleh Arthur Milchior di bawah, ini sebenarnya menangkap seluruh hirarki analitis .) Para penulis menunjukkan bahwa fragmen VO yang diperoleh dengan memungkinkan hanya kuantifikasi universal yang dibatasi atas variabel-variabel urutan persis mengekspresikan semua kueri kueri. VO memungkinkan variabel urutan untuk melampaui bilangan asli, jadi membatasi variabel urutan jelas merupakan kondisi alami untuk memaksakan.

Apakah ada fragmen VO (bagus) yang menangkap P atau NP?

Sebagai analogi, dalam logika orde pertama klasik yang memungkinkan kuantifikasi atas set objek memberikan logika yang lebih kuat yang disebut logika orde kedua atau SO. SO menangkap seluruh hierarki polinomial ; ini biasanya ditulis sebagai PH = SO. Ada bentuk terbatas dari SO menangkap kelas kompleksitas penting: NP = SO, P = SO-Horn, dan NL = SO-Krom. Ini diperoleh dengan menerapkan batasan pada sintaksis rumus yang diizinkan.

Jadi ada cara mudah untuk membatasi SO untuk mendapatkan kelas yang menarik. Saya ingin tahu apakah ada pembatasan langsung yang serupa dari VO yang kira-kira tingkat ekspresivitas yang tepat untuk P atau NP. Jika pembatasan semacam itu tidak diketahui, saya akan tertarik pada saran untuk calon yang mungkin, atau dalam beberapa argumen mengapa pembatasan seperti itu tidak mungkin ada.

Saya telah memeriksa (beberapa) makalah yang mengutip ini, dan memeriksa frasa yang jelas di Google dan Cendekia, tetapi ternyata tidak ada yang relevan. Sebagian besar makalah yang berurusan dengan logika lebih kuat daripada orde pertama tampaknya tidak berurusan dengan pembatasan untuk menurunkan daya ke ranah komputasi "masuk akal", tetapi tampaknya puas tinggal di alam semesta kelas aritmatika dan analitik. Saya akan senang dengan pointer atau frase yang tidak jelas untuk dicari; ini mungkin diketahui oleh seseorang yang bekerja di logika tingkat tinggi.


5
Sementara singkatannya terkenal di kalangan komunitas CS, saya ingin mengembangkannya untuk "kita semua": PH (Hirarki waktu polinomial), SO (logika Orde Kedua), dan VO (logika Variabel-Orde).
MS Dousti

1
Sebenarnya saya belum pernah mendengar VO sebelumnya, jadi terima kasih atas klarifikasi.
Suresh Venkat

@ Suresh: Ya, saya lupa mengatakan bahwa VO tidak dikenal sama sekali. Bagaimanapun, Anda dipersilahkan!
MS Dousti

Ada ilustrasi yang bagus dari berbagai kelas logika dan kompleksitas di sini: cs.umass.edu/~immerman/description_complexity.html , meskipun tidak menyebutkan VO.
MS Dousti

Mungkin saya tidak jelas: VO didefinisikan kurang dari satu dekade yang lalu, dan tidak terkenal. Saya tertarik karena ini adalah cara untuk memperluas logika tingkat pertama agar lebih kuat, tanpa menggunakan operator titik tetap.
András Salamon

Jawaban:


3

Catatan: Ini tidak benar-benar menjawab pertanyaan, ini hanya beberapa komentar yang diposting sebagai jawaban. :)

PHPNP

Apakah keberadaan satu quantifier tak terbatas cukup untuk menangkap set ce?

Masalahnya adalah Anda mungkin ingin bahasa menjadi tanpa simbol tambahan seperti kesetaraan, penambahan, perkalian (kanan?), Jika kita memilikinya maka dengan teorema MRDP, rumus Diophantine (kuantum eksistensial urutan pertama di depan kesetaraan dua polinomial) akan menangkap set ce. Jika kita tidak mengizinkan simbol-simbol ini dalam bahasa, masalahnya lebih rumit, kita dapat menggunakan quantifiers tingkat tinggi untuk mendefinisikannya, tetapi itu akan meningkatkan kompleksitas quantifier. Jadi jika saya ingin memberikan jawaban singkat untuk pertanyaan Anda tentang penjumlahan tunggal, saya tidak tahu.

AC0AC0cex

Beberapa komentar tambahan:

AC0


4

Sebagai informasi, VO sebenarnya lebih kuat dari yang Anda nyatakan; ini berisi seluruh hirarki analitik (karenanya, juga seluruh hierarki aritmatika). Hasilnya tidak dipublikasikan, tidak dikirim ke tempat mana pun, tetapi Anda dapat menemukannya di halaman saya, www.milchior.fr/ho.pdf bagian 7 halaman 47.

iXijYj(Xi=Yj)iXiiYi(Xi=Yi)iXiX

ϕ(i)iki>kϕ(i)kϕ(i)iϕ(i)i<kϕ(i)

Selain itu, Anda tentu dapat menahan VO dengan menahan urutan maksimal yang diterima; tetapi kemudian Anda memperoleh bahasa "urutan lebih tinggi" (HO), dan ini mungkin bukan yang Anda inginkan.


Terima kasih untuk diskusi, saya akan melihat reformulasi Anda. Apakah Anda punya saran untuk beberapa cara untuk membatasi logika sehingga tidak begitu kuat - akankah sesuatu seperti mengharuskan bagian formula yang tidak disebutkan namanya berada di CNF dengan klausa Horn yang mungkin berguna, seperti halnya dengan penjumlahan klasik?
András Salamon

Untuk lebih tepatnya, maksud saya adalah pembatasan sintaksis di sepanjang garis SNP, di mana SO kuantifiers diterapkan pada rumus FO dari bentuk tertentu (untuk SNP, dengan universal FO quantifiers saja), dan kemudian pembatasan lebih lanjut diterapkan, seperti Rumus FO dalam kuantifikasi FO adalah Horn atau Krom. Paragraf terakhir dari Bagian 5.3 Anda membicarakan hal ini, tetapi saya tidak mengerti komentar Anda bahwa pendekatannya bermasalah.
András Salamon

Saya sarankan Anda membaca bagian 5.3 halaman 34 dari makalah saya tentang masalah yang saya temui di Horn dan Krom dalam logika Orde Tinggi. Anda akan menemui masalah yang sama dalam Variable Order (yang jelas merupakan superset dari High Order)
Arthur MILCHIOR

2

Untuk menjawab komentar Anda, saya kira saya harus membuat jawaban lain, hanya berbicara pada Krom dan Horn (Mungkin saya harus mengajukan pertanyaan tentang itu ke CSTheory)

Saya sarankan Anda membaca bagian 5.3 halaman 34 dari makalah saya tentang masalah yang saya temui di Horn dan Krom dalam logika Orde Tinggi. Anda akan menemui masalah yang sama dalam Urutan Variabel (yang jelas merupakan superset dari Orde Tinggi).

Saya tidak tahu apakah Anda memperhatikannya, tetapi SO (krom) sama dengan P ketika urutan pertama bersifat universal; memang Anda bisa mengekspresikan masalah NP-complete jika Anda menambahkan variabel first order existantial. (Saya tidak ingat contoh yang saya miliki sebelumnya, saya dapat mencoba mencarinya jika Anda menginginkannya)

Saya tidak tahu akan jadi apa resctriction sintaksis ini untuk logika orde tinggi atau variabel ... maksud saya adalah Anda juga harus memikirkan cara yang baik untuk menahan quantifiers, karena menahan bagian bebas quantifier saja tidak berguna ( setidaknya untuk formula Krom)


1
Terima kasih atas wawasannya. Ini jelas membutuhkan pemikiran lebih lanjut!
András Salamon
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.