Matematikawan terkadang khawatir tentang Aksioma Pilihan (AC) dan Aksioma Penentuan (AD).
Aksioma of Choice : Mengingat setiap koleksi dari set tidak kosong, ada fungsi f yang, diberikan satu set S di C , mengembalikan anggota dari S .
Aksioma Penentuan : Biarkan menjadi seperangkat string bit panjang tak terhingga. Alice dan Bob memainkan permainan di mana Alice mengambil bit 1 b 1 , Bob mengambil bit 2 b 2 , dan seterusnya, hingga string tak terbatas x = b 1 b 2 ⋯ dibuat. Alice memenangkan permainan jika x ∈ S , Bob memenangkan pertandingan jika x ∉ S . Asumsinya adalah bahwa untuk setiap S , ada strategi kemenangan untuk salah satu pemain. (Misalnya, jika S hanya terdiri dari string semua-yang, Bob bisa menang dalam banyak gerakan.)
Diketahui bahwa kedua aksioma ini tidak konsisten satu sama lain. (Pikirkan tentang itu, atau pergi ke sini .)
Matematikawan lain hanya sedikit atau tidak memperhatikan penggunaan aksioma ini sebagai bukti. Mereka tampaknya hampir tidak relevan dengan ilmu komputer teoretis, karena kami percaya bahwa kami bekerja sebagian besar dengan objek yang terbatas. Namun, karena TCS mendefinisikan masalah keputusan komputasi sebagai string bit tak terbatas, dan kami mengukur (misalnya) kompleksitas waktu suatu algoritma sebagai fungsi asimptotik di atas natural, selalu ada kemungkinan bahwa penggunaan salah satu aksioma ini dapat merambat. menjadi beberapa bukti.
Apa contoh paling mencolok dalam TCS yang Anda tahu di mana aksioma ini diperlukan ? (Apakah Anda tahu ada contoh?)
Hanya untuk sedikit pertanda, perhatikan bahwa argumen diagonalisasi (lebih dari set semua mesin Turing, katakanlah) bukan aplikasi dari Aksioma Pilihan. Meskipun bahasa yang didefinisikan oleh mesin Turing adalah string bit tak terbatas, setiap mesin Turing memiliki deskripsi terbatas, jadi kami benar-benar tidak memerlukan fungsi pilihan untuk banyak set tak terbatas di sini.
(Saya menaruh banyak tag karena saya tidak tahu dari mana contoh itu berasal.)