Implikasi matematika dari dugaan teori kompleksitas di luar TCS

Apakah Anda tahu konsekuensi menarik dari dugaan (standar) dalam teori kompleksitas di bidang matematika lainnya (yaitu di luar ilmu komputer teoretis)?

Saya lebih suka jawaban di mana:

• dugaan teori kompleksitas adalah sebagai umum dan standar mungkin; Saya baik-baik saja dengan konsekuensi dari kekerasan masalah khusus juga, tetapi alangkah baiknya jika masalah tersebut diyakini secara luas sulit (atau setidaknya telah dipelajari di lebih dari beberapa makalah)

• implikasinya adalah pernyataan yang tidak diketahui benar tanpa syarat, atau bukti lain yang diketahui jauh lebih sulit

• semakin mengejutkan hubungannya, semakin baik; khususnya, implikasinya tidak boleh berupa pernyataan eksplisit tentang algoritma

"Jika babi bisa terbang, kuda akan bernyanyi" jenis koneksi juga oke, selama babi terbang berasal dari teori kompleksitas, dan kuda bernyanyi dari beberapa bidang matematika di luar ilmu komputer.

Pertanyaan ini dalam beberapa hal adalah "kebalikan" dari pertanyaan yang kami miliki tentang penggunaan mengejutkan matematika dalam ilmu komputer. Dick Lipton memiliki posting blog persis seperti ini: ia menulis tentang konsekuensi dugaan bahwa anjak piutang memiliki kompleksitas sirkuit yang besar. Konsekuensinya adalah bahwa persamaan diophantine tertentu tidak memiliki solusi, semacam pernyataan yang sangat sulit untuk dibuktikan tanpa syarat. Posting ini didasarkan pada pekerjaan dengan Dan Boneh, tetapi saya tidak dapat menemukan makalah.

EDIT: Seperti yang dicatat Josh Grochow dalam komentar, pertanyaannya tentang aplikasi TCS untuk matematika klasik sangat terkait. Pertanyaan saya, di satu sisi, lebih permisif, karena saya tidak menuntut pembatasan "matematika klasik". Saya pikir perbedaan yang lebih penting adalah bahwa saya bersikeras pada implikasi yang terbukti dari dugaan kompleksitas ke pernyataan dalam bidang matematika di luar TCS. Sebagian besar jawaban untuk pertanyaan Josh bukan dari jenis ini, melainkan memberikan teknik dan konsep yang berguna dalam matematika klasik yang dikembangkan atau diinspirasi oleh TCS. Namun demikian, setidaknya satu jawaban untuk pertanyaan Josh adalah jawaban sempurna untuk pertanyaan saya: makalah Michael Freedmanyang dimotivasi oleh pertanyaan yang identik dengan pertanyaan saya, dan membuktikan teorema dalam teori simpul, bersyarat pada . Dia berpendapat bahwa teorema tersebut tampaknya tidak terjangkau oleh teknik-teknik terkini dalam teori simpul. Dengan teorema Toda, jika maka hierarki polinomial runtuh, sehingga asumsi ini cukup masuk akal. Saya tertarik pada hasil serupa lainnya.P # P = N $\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

Berikut contoh lain dari teori grafik. Teorema minor grafik memberi tahu kita bahwa, untuk setiap kelas dari graf tidak berarah yang ditutup di bawah anak di bawah umur, ada himpunan halangan terbatas sedemikian rupa sehingga sebuah grafik berada di jika dan hanya jika itu tidak mengandung grafik di sebagai di bawah umur. Namun, teorema minor minor secara inheren non-konstruktif dan tidak memberi tahu kita apa pun tentang seberapa besar set-set penghalang ini, yaitu, berapa banyak grafik yang dikandungnya untuk pilihan .O b s ( G ) G O b s ( G ) $\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

Dalam Terlalu Banyak Obstruksi Kecil , Michael J. Dinneen menunjukkan bahwa di bawah dugaan kompleksitas-teoretis yang masuk akal, ukuran beberapa set obstruksi tersebut dapat terbukti besar. Sebagai contoh, pertimbangkan kelas parameter dari grafik genus paling banyak . Ketika bertambah, kita dapat mengharapkan set obstruksi menjadi semakin rumit, tetapi seberapa banyak? Dinneen menunjukkan bahwa jika hierarki polinom tidak runtuh ke tingkat ketiga maka tidak ada polinom sehingga jumlah penghalang dalam dibatasi oleh kk O b s ( G k )p O b s ( G k )p(k) O b s ( G 0 )={ K 5 , K 3 , 3 } G k$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$. Karena jumlah penghalang kecil untuk memiliki genus nol (yaitu planar) hanya dua ( ), pertumbuhan superpolinomial ini tidak segera jelas (meskipun saya percaya itu dapat dibuktikan tanpa syarat). Hal yang menyenangkan tentang hasil Dinneen adalah bahwa hal itu berlaku untuk ukuran set obstruksi yang sesuai dengan setiap set parameter cita-cita minor yang menentukan terkecil untuk mana adalah NP- keras; dalam semua cita-cita minor yang diparameterisasi seperti itu, ukuran set obstruksi harus tumbuh secara superpolynomially. $\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

Berikut ini sebuah contoh: Kompleksitas komputasi dan asimetri informasi dalam produk keuangan oleh Arora, Barak dan Ge menunjukkan bahwa komputasi dapat dipecahkan secara komputasional (yaitu NP-hard) untuk menentukan harga derivatif dengan benar - mereka menggunakan subgraf terpadat sebagai masalah sulit yang tertanam.

Sepanjang garis yang sama dan jauh sebelumnya adalah kertas terkenal oleh Bartholdi, Tovey, dan Trick tentang kekerasan memanipulasi pemilihan.

Seperti yang disarankan oleh Sasho, jawaban saya untuk pertanyaan " Aplikasi TCS untuk matematika klasik? " Berikut:

Dalam makalahnya, Program Garis Lurus dan Poin Torsi pada Kurva Elliptic , Qi Cheng mengaitkan -conjecture Bürgisser's (varian -conjecture Shub dan Smale ) dengan Teorema Torsion dan Teorema Masser di bidang kurva eliptik.$L$$\tau$

Sangat kasar, jika -conjecture benar (atau versi yang lebih lemah), maka seseorang dapat "dengan mudah" menyimpulkan kedua teorema ini. Bukti asli mereka jauh lebih sulit.$L$

¹ -conjecture menyatakan bahwa jika polinomial memiliki program garis lurus bebas konstan (atau rangkaian aritmatika) ukuran , jumlah akar bilangan bulatnya paling banyak untuk beberapa absolut konstan .p τ ( 1 + τ ) c$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

Anda dapat menggunakan dugaan teori kompleksitas untuk membuktikan hal-hal tentang, misalnya, teori representasi dari kelompok simetris (lihat posting blog ini ). Secara kasar, karena kata masalah dari grup simetris adalah sulit, tidak dapat memiliki representasi dimensi yang setia (yaitu, injeksi) lebih kecil dari kecuali SAT memiliki sirkuit ukuran sub-eksponensial. S 2 k 2 δ $S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

Ini sangat dalam semangat makalah Mike Freedman yang disebutkan sebelumnya.

Tampaknya banyak pertanyaan pemisahan kelas kompleksitas TCS memiliki implikasi besar dalam matematika. pertanyaan P =? NP khususnya tampaknya memiliki koneksi yang sangat dalam di berbagai bidang dan ini termasuk matematika. beberapa kasus penting di bidang ini:

• Masalah Hilberts Nullstellensatz yang diformulasikan pada awal abad ke-20 telah terbukti memiliki traktabilitas yang berkaitan erat dengan kompleksitas P vs NP misalnya dalam INTRAKTABILITAS NULLSTELLENSATZ HILBERT DAN VERSI ALGEBRAIC “NP ̸ = P?” Oleh Shub / Smale. ini adalah bidang studi yang berkelanjutan misalnya dalam Aljabar Komputer, Combinatorics, dan Kompleksitas: Hilull's Nullstellensatz dan NP-complete Problem by Margulies.

• Teorema Fagins (wikipedia):

  Teorema Fagin adalah hasil dalam teori kompleksitas deskriptif yang menyatakan bahwa himpunan semua properti yang dapat diekspresikan dalam logika orde dua eksistensial adalah persisnya kelas kompleksitas NP. Ini luar biasa karena merupakan karakterisasi dari NP kelas yang tidak memanggil model komputasi seperti mesin Turing.

  implikasi utama / mengejutkan dari P = NP di sini akan berarti bahwa semua pernyataan logika orde kedua dapat dihitung secara efisien.

• kasus lain adalah bahwa ada berbagai masalah lengkap NP yang dinyatakan sebagian besar hanya dalam istilah matematika (misalnya tidak ada referensi untuk konsep TCS seperti TM, nondeterminisme dll). daftar ini bisa sangat besar jika teori grafik (cukup masuk akal) dianggap sebagai matematika. Namun, bahkan interpretasi sempit "matematis" mengarah pada kasus, misalnya dalam teori bilangan.

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • Apakah ada masalah alami pada naturals yang lengkap dengan NP? tcs.se
  • teori bilangan dan NP aliran matematika lengkap