Pertimbangkan masalah pengoptimalan dari formulir berikut. Misalkan menjadi fungsi yang dapat dihitung polinomial-waktu yang memetakan string menjadi bilangan rasional. Masalah optimasinya adalah ini: berapakah nilai maksimum atas bit string ?f ( x ) n
Mari kita katakan bahwa masalah seperti itu memiliki karakterisasi minimax , jika ada fungsi computable polinomial-waktu lain , sehingga berlaku. Di sini x berjalan di atas semua string n- bit, dan y berjalan di atas semua string m- bit; n dan m mungkin berbeda, tetapi mereka terkait secara polinomi.xnymnm
Banyak masalah optimasi alami dan penting memiliki karakterisasi minimal seperti itu. Beberapa contoh (teorema yang menjadi dasar penokohannya ditunjukkan dalam tanda kurung):
Pemrograman Linier (LP Dualitas Thm), Aliran Maksimum (Max Flow Min Cut Thm), Pencocokan Bipartit Max (Konig-Hall Thm), Pencocokan Non-Bipartit Max (Tht Thm, rumus Tutte-Berge), Max Disjoint Arborescences dalam grafik berarah ( Edmond's Disjoint Branching Thm), Max Spanning Tree Packing dalam grafik tidak berarah (Tutte's Tree Packing Thm), Min Menutupi oleh Hutan (Nash-Williams Thm), Max Packing Sutradara Cut (Lucchesi-Younger Thm), Max 2-Matroid Intersection (Intersection Matroid) Thm), Max Disjoint Paths (Menger's Thm), Max Antichain dalam Set Pesanan Sebagian (Dilworth Thm), dan banyak lainnya.
Dalam semua contoh ini, algoritma waktu polinomial juga tersedia untuk menemukan yang optimal. Pertanyaan saya:
Apakah ada masalah optimisasi dengan karakterisasi minimax, yang sejauh ini belum ditemukan algoritma polinomial-waktu?
Catatan: Pemrograman Linier berada dalam status ini selama sekitar 30 tahun!