Masalah yang mudah pada grafik tidak tertimbang, tetapi sulit untuk grafik tertimbang

Banyak masalah grafik algoritmik dapat diselesaikan dalam waktu polinomial baik pada grafik tidak tertimbang dan berbobot. Beberapa contoh adalah lintasan terpendek, pohon spanning min, lintasan terpanjang (dalam grafik asiklik langsung), aliran maks, min cut, pencocokan maks, arborescence optimal, masalah subgraph terpadat tertentu, pemotongan terarah terpisah max, klik cl di kelas grafik tertentu, maks independen atur dalam kelas grafik tertentu, berbagai masalah jalur jalur terpisah, dll

Namun, ada beberapa (walaupun mungkin jauh lebih sedikit) masalah yang dapat dipecahkan dalam waktu polinomial dalam kasus tidak tertimbang , tetapi menjadi sulit (atau memiliki status terbuka) dalam kasus tertimbang . Berikut ini dua contoh:

1. Dengan grafik lengkap -vertex, dan integer , temukan subgraph span- terkoneksi dengan jumlah tepi minimum yang mungkin. Ini dapat dipecahkan dalam waktu polinomial, menggunakan teorema F. Harary, yang menceritakan struktur grafik optimal. Di sisi lain, jika ujung-ujungnya dibobot, maka menemukan subgraf spanning terkoneksi- berat adalah -hard.k ≥ $n$$k\geq 1$k N $k$$k$$NP$

2. Sebuah makalah baru-baru ini (Desember 2012) dari S. Chechik, MP Johnson, M. Parter, dan D. Peleg (lihat http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ) mempertimbangkan, antara lain, masalah jalur yang mereka hadapi. sebut Jalur Paparan Minimum. Di sini orang mencari jalur antara dua simpul yang ditentukan, sehingga jumlah simpul di jalur, ditambah jumlah simpul yang memiliki tetangga di jalur minimum. Mereka membuktikan bahwa dalam grafik tingkat dibatasi ini dapat diselesaikan dalam waktu polinomial untuk kasus unweighted, tetapi menjadi -Hard dalam kasus tertimbang, bahkan dengan gelar terikat 4. (Catatan: referensi itu ditemukan sebagai jawaban atas pertanyaan Apa kompleksitas masalah jalur ini? )$NP$

Apa beberapa masalah menarik lainnya dari sifat ini, yaitu, ketika beralih ke versi berbobot menyebabkan "lompatan kompleksitas?"

Di dunia algoritme aproksimasi ada masalah vertex cover capacitated. Diberikan dan kapasitas integer untuk setiap tujuannya adalah untuk menemukan penutup vertex ukuran minimum untuk mana jumlah tepi yang ditutupi oleh paling banyak adalah . Masalah ini memiliki perkiraan faktor konstan dalam kasus tidak berbobot (yaitu, kami ingin meminimalkan ukuran penutup simpul) sementara itu -hard (kecuali ) dalam kasus tertimbang (masing-masing simpul memiliki bobot dan kami ingin meminimalkan bobot penutup).c ( v ) v ∈ V G v c ( v ) Ω ( log n ) P = N P w ( v $G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$$P = NP$$w(v)$

Contoh favorit saya adalah masalah dominasi independen (diberikan grafik dan integer k , apakah G memiliki set independen maksimal-maksimal paling banyak simpul k ?). Dengan hasil yang bagus karena Martin Farber ( lihat di sini ), versi yang tidak berbobot secara polinomi dipecahkan dalam grafik chordal. Gerard Chang membuktikan bahwa versi tertimbang adalah NP-complete untuk grafik chordal ( lihat di sini ).$G$$k$$G$$k$

Masalah pencocokan sempurna dalam grafik bipartit adalah dalam sedangkan Bobot Sempurna Pencocokan Sempurna dari grafik Bipartit adalah N P -Lengkap .$P$$NP$

Menindaklanjuti jawaban Mohammad Al-Turkistany, tampaknya bahwa banyak dari polinomial-waktu masalah tertimbang dipecahkan bisa berubah -Lengkap dalam kasus tertimbang, jika kita bertanya apakah ada solusi yang memiliki persis berat tertentu. Alasannya adalah bahwa ini memungkinkan untuk menyandikan Subset Jumlah Masalah ke dalam tugas yang dipertimbangkan.$NP$

$W$$W$

Penyeimbangan Grafik (juga dikenal sebagai Orientasi Min-Derajat) adalah contoh lain dari fenomena ini. Dalam masalah ini kita diberikan grafik edge-weighted yang tidak diarahkan. Tujuannya adalah untuk mengorientasikan ujung-ujungnya sehingga derajat keluar maksimum berbobot yang dihasilkan diminimalkan.

Masalahnya sering dimotivasi oleh skenario penjadwalan. Bayangkan bahwa setiap titik adalah prosesor dan setiap sisi adalah pekerjaan yang hanya diperbolehkan berjalan di salah satu dari dua titik akhir. Berat tepi adalah panjang pekerjaan yang sesuai dan tujuannya adalah untuk meminimalkan makespan.

Masalahnya adalah NP-hard dan APX-hard, bahkan jika semua bobot adalah 1 atau 2 (lihat Ebenlendr et al. "Penyeimbangan grafik: kasus khusus penjadwalan mesin paralel yang tidak terkait" dalam SODA 2008). Namun dalam P untuk grafik tidak tertimbang (lihat Asahiro et al. "Kelas grafik dan kompleksitas orientasi grafik meminimalkan outdegree tertimbang maksimum" dalam CATS 2008).

Mungkin ini hanya contoh sepele dan Anda mungkin menganggapnya sebagai kasus yang merosot, tetapi contoh pertama yang muncul di benak saya adalah Traveling Salesman Problem (di mana biasanya diasumsikan bahwa grafik sudah selesai). Perhatikan bahwa versi tidak berbobot adalah Hamiltonian Cycle, yang sepele untuk grafik lengkap.

Menemukan jalur biaya minimum di bawah kendala keterlambatan (alias masalah Jalur Terpendek Terkini) tampaknya cocok di sini.

$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

$s-t$$D$

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

Jika masalah tertimbang, itu menjadi Jalan Terpendek Terkendala , yang dikenal sebagai NP-lengkap bahkan pada DAG.

Masalah Max Cut Lokal dengan lingkungan FLIP adalah PLS-lengkap dalam grafik bilangan bulat umum.

AA Schaeffer dan M. Yannakakis. (1991). Masalah pencarian lokal sederhana yang sulit dipecahkan. Jurnal SIAM tentang Komputer, 20 (1): 56-87.

Namun, jika bobot terbesar adalah polinomial dalam ukuran grafik, maka perbaikan lokal terhadap potensial (bobot potongan) akan menyatu dalam waktu polinomial, karena setiap peningkatan akan meningkatkan fungsi potensial setidaknya satu, dan fungsi potensial dibatasi secara polinomi. (Dengan bobot umum, menemukan solusi yang dapat dicapai dengan perbaikan lokal dari pemotongan awal tertentu adalah PSPACE-complete.)

Hal serupa terjadi juga di "permainan potensial" lainnya.

Travelling salesman terbuka pada grafik grid yang dijual, tetapi siklus Hamilton (varian tidak berbobot) dikenal polinomial.

Diskusi keduanya pada proyek masalah terbuka:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

Pada 2K_1 gratis, Pemotongan maksimum adalah polinomial dan Pemotongan maksimum tertimbang adalah NP-lengkap.