Koneksi antara Masalah Ketimpangan Erdos dan CS (Teoritis)?

Baru-baru ini ada beberapa hasil baru pada studi eksperimental berbasis komputer dari Erdos Discrepancy Problem (EDP) (melalui solver SAT, dikutip di bawah). Masalah ini telah dikutip dan dipelajari oleh beberapa (T) peneliti CS. Namun (mungkin mendalam?) Tautan ke (T) CS tidak begitu jelas.

Apa tautan dari EDP ke (T) CS?

Berikut adalah beberapa referensi yang menunjukkan minat komunitas CS (T) di EDP:

• SAT menyerang EDP oleh Konev dan Lisitsa, dan reaksi oleh Gower ; juga, koneksi lain ke TCS empiris / eksperimental (misalnya bukti teorema SAT otomatis)

• Pengantar EDP dan teknik di blog Lipton

• EDP ​​dan Privasi Diferensial pada Windows di blog Teori, oleh Talwar

• Proyek polymath EDP , dengan beberapa kontribusi oleh para ilmuwan komputer

Ada banyak hubungan antara teori perbedaan dan ilmu komputer, dan Bernard Chazelle telah dengan indah mensurvei beberapa di antaranya dalam bukunya . Sejumlah tautan juga telah ditemukan baru-baru ini, misalnya posting blog Kunal berbicara tentang koneksi ke privasi diferensial dari [MN] dan [NTZ] . Contoh lain adalah ide Larsen untuk menggunakan perbedaan untuk membuktikan waktu pembaruan / permintaan batas yang lebih rendah untuk struktur data dinamis. Banyak dari tautan ini dapat dipakai dengan progresi aritmatika (HAP) yang homogen. Ini akan memberi:

• $\varepsilon$
• batas bawah pada waktu yang diperlukan untuk memperbarui / meminta struktur data dinamis untuk penghitungan rentang HAP
• batas bawah dan atas pada kesalahan yang diperlukan untuk menjawab pertanyaan HAP secara pribadi

Namun, ada dua hal yang harus Anda sadari sehubungan dengan tautan ini. Salah satunya adalah bahwa tidak jelas bahwa ruang rentang HAP sangat alami. Kapan Anda berharap mendapat input yang merupakan multiset bilangan bulat dan ingin menjawab berapa banyak elemen dari HAP yang ada dalam input? Saya tidak bisa memikirkan situasi ketika ini muncul, tapi mungkin saya kehilangan sesuatu.

Hal lain yang harus Anda sadari adalah bahwa semua aplikasi ini bergantung pada gagasan perbedaan keturunan . Gagasan ini lebih kuat daripada perbedaan yang membuatnya lebih mudah ditelusuri: ada batas bawah yang lebih kuat tersedia untuk itu, dapat diperkirakan dalam faktor polylogaritmik, dan kira-kira sama dengan nilai masalah optimasi cembung. Hasil yang dibicarakan Kunal di posting blog (makalah ada di sini ) dan konstruksi oleh Alon dan Kalai yang ditulis Kalai di posting blog inibersama-sama pada dasarnya menyelesaikan perbedaan herediter HAP. Seperti yang dijelaskan Kunal, intuisi untuk batas bawah pada perbedaan herediter HAP berasal dari hubungan yang erat antara perbedaan herediter dan privasi diferensial, bersama dengan hasil sebelumnya dalam privasi diferensial.

Namun EDP adalah tentang perbedaan HAP. Perbedaan jauh lebih rapuh daripada perbedaan turun-temurun, dan itu membuat batas bawah menjadi lebih sulit. Ini juga membuatnya kurang berguna dalam aplikasi daripada perbedaan keturunan. Dan inilah mengapa EDP masih terbuka lebar sementara pertanyaan perbedaan herediter cukup dipahami.

Biarkan saya selesai dengan satu pendekatan untuk menyerang EDP yang terinspirasi oleh ide-ide ilmu komputer. Ada cara untuk mengendurkan perbedaan ke program semidefinite, lihat survei oleh Bansal untuk detailnya. Nilai optimal dari program semidefinite lebih rendah dibatasi oleh nilai dari setiap solusi yang layak untuk program gandanya. Jadi seseorang dapat mencoba untuk membuktikan EDP dengan menunjukkan sekumpulan solusi ganda untuk relaksasi ketidakcocokan semidefinite ini, dan menunjukkan bahwa nilai solusi ganda tersebut hingga tak terhingga. Saya tidak melihat alasan mengapa serangan seperti itu tidak dapat bekerja, khususnya kita tidak tahu bagaimana membangun solusi untuk relaksasi semidefinite yang memiliki nilai konstan untuk contoh besar yang sewenang-wenang. Sebenarnya banyak upaya dalam polymath5 yang berpusat pada menemukan atau mengesampingkan solusi ganda dengan struktur tertentu.

$\Theta(n^{1/4})$