Masalah subgraph terhubung berat-maksimum dalam grafik planar

Masalah subgraph terhubung maksimum-berat adalah sebagai berikut:

Input: grafik dan berat (mungkin negatif) untuk setiap titik . $G=(V,E)$ $w_i$ $i \in V$

Keluaran: subset maksimum-berat dari simpul sedemikian sehingga terhubung. $S$ $G[S]$

Masalah ini NP-hard. David S. Johnson menyebutkan pada hal. 149 dari kolom ini bahwa masalahnya tetap sulit dalam grafik planar dari tingkat tiga maksimum dengan semua bobot baik atau . $+1$ $-1$

Saya tidak dapat menemukan kertas yang dikutip - A. Vergis, manuskrip (1983)

Ada ide tentang di mana menemukan kertas itu? Atau pengurangan apa itu?

— Austin Buchanan
sumber

Dalam "The NP-Completeness Column: An Ongoing Guide" nomor 14, Johnson menulis "... Vergis [49]. Transformasi dari STEINER TREE IN GRAPHS [ND12] ..." . Saya tidak memiliki akses ke makalah Vergis, namun kemungkinan pengurangannya adalah sebagai berikut.

Steiner Tree (ST) dalam masalah grafik

Instance : grafik tak berarah , subset dari simpul , disebut terminal node ; bilangan bulat non-negatif $G = (V,E)$ $R \subseteq V$ $k$

Pertanyaan : apakah ada subtree yang mencakup semua simpul (pohon spanning untuk ) dan yang paling banyak berisi tepi ? $G$ $R$ $R$ $k$

Masalahnya tetap NPC bahkan untuk grafik planar (M. Garey dan D. Johnson. Masalah Steiner tree bujursangkar adalah NP-lengkap).

Diberikan turunan dari planar ST, untuk sekarang anggaplah bahwa Anda dapat menetapkan bobot sewenang-wenang untuk node. Jika dan , Anda dapat menetapkan bobot ke node dan Anda dapat menambahkan simpul tengah ke setiap tepi dan menetapkan bobot ke dalamnya. Berat badan menetapkan untuk node yang tersisa di . Grafik asli memiliki spanning tree untuk dengan paling banyak $|R|=p$ $|E|=q$ $q+1$ $R$ $E$ $-1$ $0$ $V \setminus R$ $G$ $R$ $k$ ujung-ujungnya jika dan hanya jika dalam grafik yang ditransformasikan, Anda dapat menemukan subgraf bobot target lebih besar atau sama dengan . $W = p(q+1) - k$

Secara informal untuk mencapai jumlah Anda harus menyertakan semua simpul dalam subgraf, dan Anda harus menyertakan paling banyak simpul tengah (sesuai dengan tepi ) yang memiliki bobot negatif -1 agar tetap terhubung . $p(q+1)$ $R$ $k$ $G$

Anda dapat mengurangi derajat maks dari keseluruhan grafik menjadi tiga dengan cara ini: jika hanya mengubah setiap simpul ke rantai lingkaran simpul (dan sesuaikan nilai sesuai). Hubungkan tepi masuk ke node yang berbeda dari rantai (yang akan memiliki derajat 3). $D = \max\{deg(u_i) \mid u_i \in V\}$ $u_i$ $D$ $p$

Dan jika Anda hanya ingin menggunakan bobot maka Anda harus: (A) menetapkan untuk semua node dari rantai bundar yang sesuai dengan node di , (B) mengubah setiap node tengah menjadi rantai linier node berat dan panjang , dan (C) lebih memperluas rantai melingkar (dengan berat 1) sesuai dengan node untuk setidaknya panjang $+1,-1$
$+1$ $V\setminus R$
$-1$ $l_E = |V\setminus R|+1$
$R$ ; dan set Target berat . Secara informal, rantai yang diperluas dan target baru membuatbobot dari simpul yang terkait dengan (titik A) tidak relevan. $l_R = l_E( |E| + 1)$ $W =pl_R - kl_E$
$+1$ $V \setminus R$

— Marzio De Biasi
sumber

Anda sangat cepat mendesain gadget NP-hardness!

— Suresh Venkat

@ SureshVenkat: tapi saya masih tidak yakin itu benar: -S. Namun saya juga mengkhususkan diri dalam pengurangan "Reinventing The Wheel" (RTW) :-). Selanjutnya dengan kamu Anda dapat menggambar grafik dalam beberapa menit ... menggunakan tikzit akan memakan waktu berjam-jam :).

— Marzio De Biasi

Ketika ada tugas yang memuaskan, bagaimana Anda memastikan itu terhubung?

— Austin Buchanan

@AustinBuchanan: Saya mengubah seluruh bukti ... melihat apakah ia dapat bekerja (yang sebelumnya ditambal dengan

tepi adalah benar tetapi tidak menjamin graf planar :-)

(y_{i}, y_{i + 1})

$(y_i,y_{i+1})$

— Marzio De Biasi