Teori tipe homotopy dan teorema ketidaklengkapan Gödel

Kurt Gödel 's ketidaklengkapan teorema menetapkan 'keterbatasan dari semua tetapi kebanyakan sistem aksiomatik sepele mampu melakukan aritmatika'.

Teori Tipe Homotopy memberikan landasan alternatif untuk matematika, landasan univalen berdasarkan pada tipe induktif yang lebih tinggi dan aksioma univalensi . The book Hott menjelaskan bahwa jenis yang groupoids lebih tinggi, fungsi functors, jenis keluarga yang brations fi, dll

Artikel terbaru "Matematika Resmi yang Diverifikasi" di CACM oleh Jeremy Avigad dan John Harrison membahas HoTT sehubungan dengan matematika yang diverifikasi secara formal dan pembuktian teorema otomatis.

Apakah teorema ketidaklengkapan Gödel berlaku untuk HoTT?

Dan jika mereka melakukannya,

teori jenis homotopy dirusak oleh teorema ketidaklengkapan Gödel (dalam konteks matematika yang diverifikasi secara formal)?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— hawkeye
sumber

Pertanyaan menarik. Apakah ada sesuatu yang Anda baca yang menyarankan kepada Anda bahwa HTT tidak menderita Ketidaklengkapan Godel? (Perhatikan bahwa upaya sebelumnya pada yayasan - seperti teori himpunan - juga menderita Godel Incompleteness ...)

— Joshua Grochow

HoTT "menderita" dari ketidaklengkapan Gödel, tentu saja, karena ia memiliki bahasa yang dapat dihitung dan aturan inferensi yang dapat dihitung, dan kita dapat memformalkan aritmatika di dalamnya. Para penulis buku HoTT sangat menyadari ketidaklengkapannya. (Faktanya, ini cukup jelas, terutama ketika setengah dari penulis adalah semacam ahli logika).

Tetapi apakah ketidaklengkapan "merusak" HoTT? Tidak lebih dari sistem formal lainnya, dan saya pikir keseluruhan masalahnya agak salah kaprah. Biarkan saya mencoba analogi. Misalkan Anda memiliki mobil yang tidak dapat membawa Anda ke mana-mana di planet ini. Misalnya, ia tidak bisa memanjat dinding secara vertikal. Apakah mobil "cacat"? Tentu saja, itu tidak bisa membawamu ke puncak gedung Empire State. Apakah mobil itu tidak berguna? Jauh dari itu, dapat membawa Anda terlalu banyak tempat menarik lainnya. Belum lagi bahwa gedung Empire State memiliki lift.

— Andrej Bauer
sumber

Saya tidak berpikir analogi mobil itu cukup berhasil karena pertanyaannya tidak seberapa, "Apakah mobil itu tidak berguna?" tetapi "Bisakah mobil berfungsi sebagai transportasi dasar?" Tetapi, bagaimanapun juga, poin mendasarnya adalah bahwa sistem apa pun yang akan menjadi dasar matematika tidak lengkap.

— David Richerby

Maksud saya adalah bahwa orang tidak mengharapkan mesin transportasi yang sempurna untuk ada, dan mereka juga tidak khawatir bahwa tidak ada satu, tetapi entah bagaimana mereka khawatir tentang fakta bahwa tidak ada dasar (masuk akal) matematika yang lengkap.

— Andrej Bauer