Adakah bukti non-konstruktif tentang keberadaan mesin Turing / NFA “kecil”?

11

Setelah membaca pertanyaan terkait , tentang bukti keberadaan algoritma yang tidak konstruktif, saya bertanya-tanya apakah ada metode untuk menunjukkan keberadaan mesin komputasi "kecil" (katakanlah, bijaksana) tanpa benar-benar membangunnya.

Secara formal:

misalkan kita diberi beberapa bahasa dan memperbaiki beberapa model perhitungan (NFA / mesin turing / dll.). $L\subseteq \Sigma^*$

Apakah ada hasil keberadaan non-konstruktif menunjukkan mesin -state untuk ada, tetapi tanpa kemampuan untuk menemukan (di waktu) itu? $n$ $L$ $poly(n,|\Sigma|)$

Sebagai contoh, apakah ada bahasa biasa yang dapat kita perlihatkan tetapi kita tidak tahu bagaimana membuat otomat state untuk? $L$ $nsc(L)\leq n$ $n$

( adalah kompleksitas keadaan non-deterministik , yaitu jumlah negara dalam NFA minimal yang menerima ). $nsc(L)$ $L$ $L$

EDIT: setelah beberapa diskusi dengan Marzio (terima kasih!) Saya pikir saya bisa merumuskan pertanyaan dengan lebih baik sebagai berikut:

Apakah ada bahasa dan model perhitungan yang digunakan sebagai berikut: $L$

Kami tahu cara membuat mesin yang menghitung yang memiliki status . $L$ $m$

Kami memiliki bukti bahwa mesin -states untuk ada (di mana ), tapi entah kita tidak dapat menemukannya sama sekali atau itu akan mengambil waktu eksponensial untuk menghitung itu. $n$ $L$ $n << m$

cc.complexity-theory automata-theory turing-machines

— BPR
sumber

apa itu nsc (L)? pertanyaannya tampaknya terkait dengan kompleksitas kompresi / Kolmogorov yang meminta untuk menemukan mesin kecil (est) untuk mewakili string ...

— vzn

nsc (L) adalah kompleksitas keadaan non deterministik L (jumlah negara dalam NFA terkecil yang menerima L).

— RB

ide lain / sudut, mungkin ada beberapa kelas sirkuit "kecil" (model komputasi lain) yang terbukti mereka dapat menghitung fungsi tertentu tetapi konstruksi sebenarnya rumit? SJ baru-baru ini menyebutkan Barrington bahwa lebar 5 program percabangan dapat menghitung mayoritas ...?

— vzn

@vzn Bukti teorema Barrington memberikan prosedur yang mudah untuk mengubah formula menjadi program percabangan.

— Sasho Nikolov

1

x

$x$

O (2^{n})

$O(2^n)$

x

$x$

x

$x$

| M | < | x |

$|M|<|x|$

8

Hanya komentar yang diperluas dengan contoh sepele; Anda dapat memilih bahasa satu elemen:

L_{k} = {M ∣ σ (M) = Σ (k)}

$L_k = \{ M \mid \sigma(M) = \Sigma(k) \}$

$L_k$ $k$ $k$

$k$ $L_k$ $\leq 2*k(\log k+2)$

— Marzio De Biasi
sumber

Sementara saya setuju itu berhasil, saya sedang mencari keberadaan menunjukkan teknik untuk bahasa yang diberikan secara eksplisit L.

— RB

3

Apa itu "bahasa yang diberikan secara eksplisit"?

— Jeff

3

$\mathtt{MOD_p} = \{a^{ip} \mid i \geq 0\}$ $p$ $O(\log p)$

$O(\log^{2+o(1)}p)$ $\mathtt{MOD_p}$

REF: Bagian 4.2 dari (Ambainis dan Yakaryilmaz, 2015) .

— Abuzer Yakaryilmaz
sumber

2

Solusi lain adalah dengan menggunakan lemma Higman :

Bahasa yang ditutup dengan kata-kata biasa.

$u$ $v$ $u$ $v$

Jadi ambillah bahasa apa pun L, penutupan subwordnya teratur tetapi sama sekali tidak konstruktif karena L bersifat arbitrer.

— CP
sumber