Pembatasan acak dan koneksi ke pengaruh total fungsi Boolean

Katakanlah kita memiliki fungsi Boolean $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ dan kami menerapkan pembatasan $\delta$ -random pada $f$ . Selain itu, katakan bahwa pohon keputusan $T$ yang menghitung $f$ menyusut ke ukuran $O(1)$ sebagai akibat dari pembatasan acak. Apakah ini menyiratkan bahwa $f$ memiliki pengaruh total yang sangat rendah?

Klaim: Jika -random pembatasan f memiliki pohon keputusan ukuran O ( 1 ) (dengan harapan), maka pengaruh total dari f tersebut adalah O ( δ - 1 ) .$\delta$$f$$O(1)$$f$$O(\delta^{-1})$

Sketsa bukti: Berdasarkan definisi pengaruh yang kita miliki . Mari kita beri batas atas Pr x , i [ f ( x ) ≠ f ( x + e i ) ] dengan terlebih dahulu menerapkan pembatasan δ , lalu memilih i $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$ di antara koordinat yang tersisa, dan memperbaiki secara acak segala sesuatu kecuali untuk x i .$i \in [n]$$x_i$

Sekarang, jika restriksi mengurangi pohon keputusan dari f ke ukuran O ( 1 ) , maka khususnya δ- restriksi f tergantung pada r = O ( 1 ) yang terkoordinasi. Mari kita sekarang memilih satu koordinat acak yang tidak tetap (di antara δ n ), dan perbaiki yang lainnya secara acak. Karena δ- restriksi f bergantung pada paling banyak r koordinat, kita mendapatkan fungsi (pada satu bit) yang tidak konstan dengan probabilitas paling banyak $\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$ . Oleh karena itusayanf(f)=n⋅Prx,i[f(x)≠f(x+ei)]≤$\frac{r}{\delta n}$ , seperti yang dipersyaratkan.$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Catatan: Klaim di atas ketat dengan mengambil fungsi paritas pada bit .$O(1/\delta)$