Kompleksitas pewarnaan tepi dalam grafik planar

15

Pewarnaan 3-sisi dari grafik kubik adalah -complete. Teorema Empat Warna setara dengan "Setiap grafik bridgeless planar kubik adalah 3-sisi yang dapat diwarnai". $NP$

Apa kompleksitas pewarnaan 3-sisi grafik planar kubik?

Juga, Hal ini menduga bahwa -edge pewarnaan adalah -Hard untuk grafik planar dengan tingkat maksimum {4,5}. $\Delta$ $NP$ $\Delta \in$

Apakah ada kemajuan yang dicapai untuk menyelesaikan dugaan ini?

Marek Chrobak dan Takao Nishizeki. Algoritma pewarnaan tepi yang ditingkatkan untuk grafik planar. Jurnal Algoritma, 11: 102-116, 1990

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Bukankah baris 2 pada tabel 1 di dx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3 berarti bahwa "pewarnaan 3-sisi grafik planar kubik" secara polinomi dapat dipecahkan?

— Oleksandr Bondarenko

Entri tabel mengacu pada kertas Robertson, Sanders, Seymour, dan Thomas Four Coloring yang berkaitan dengan grafik planar kubus Bridgeless .

— Mohammad Al-Turkistany

+1 pertanyaan yang bagus, saya punya yang serupa, tetapi yang lebih praktis ...

— draks ...

Hai, apakah Anda tahu jika ada kemajuan untuk pewarnaan 3-tepi pada grafik kubik pada torus ganda ?

— Drak ...

15

Setiap grafik planar kubik tanpa bridg dapat berwarna 3-edge dalam waktu kuadrat, karena tugas ini setara dengan empat warna grafik planar, yang dapat dilakukan dalam waktu kuadratik. (Lihat Robertson, Sanders, Seymour dan Thomas: http://people.math.gatech.edu/~thomas/OLDFTP/fcdir/fcstoc.ps )

EDIT: Seperti yang ditunjukkan Mathieu, grafik kubik dengan jembatan tidak pernah berwarna 3-tepi.

— Emil
sumber

5

Grafik kubik dengan jembatan tidak pernah bisa 3-edge-colourable. Ini mengikuti dari "Parity Lemma" misalnya, lihat komentar di bawah Lemma 2.1 di combinatorics.org/Volume_17/PDF/v17i1r32.pdf

— Colin McQuillan

1

Tepatnya, kesetaraan antara warna

tepi dan

warna hanya untuk grafik planar kubik tanpa jembatan .

3

$3$

4

$4$

— Mathieu Chapelle

@ Emil, saya tidak melihat bagaimana hal itu menyiratkan bahwa grafik PLANAR kubik dengan jembatan tidak pernah bisa 3-edge colourable.

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany Diberi dua warna a dan b dalam pewarnaan d-edge dari grafik d-regular (d> = 2), subgraph yang diinduksi oleh tepi berwarna a atau b adalah perpaduan yang tidak terpisahkan dari siklus genap. Dari sini, ikuti Parity Lemma: Jika X adalah subset non-kosong V (G) yang tepat dan F adalah potongan yang disebabkan oleh X, maka untuk semua warna a dan b, paritas jumlah tepi X berwarna a adalah sama dengan paritas jumlah tepi berwarna X b. Ergo, grafik d-reguler (d> = 2) dengan bridge tidak dapat d-edge-colourable, terlepas dari planar atau tidak.

— Leandro Zatesko

5

Pewarnaan 3-sisi dari grafik bebas-segitiga dengan derajat maksimum 3 juga NP-complete, lihat 10.1016 / S0096-3003 (96) 00021-5.

— Diamantis Koreas
sumber

4

Anda mungkin menemukan makalah yang menarik ini:

http://cs.nyu.edu/cole/papers/edge_col.pdf

— Joseph Malkevitch
sumber

Atau, dx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3 Aneh bahwa ini adalah salah satu hits pertama ketika Anda google <edge coloring planar graphs>.

— RJK