Berapa banyak warna berbeda yang diperlukan untuk batas-bawah kemampuan memilih grafik?

Grafik adalah -choosable (juga dikenal sebagai -list-colorable ) jika, untuk setiap fungsi yang memetakan simpul ke set warna, ada penetapan warna sedemikian rupa, untuk semua simpul , , dan sedemikian rupa sehingga, untuk semua tepi , .k f k c v c ( v ) ∈ f ( v ) v w c ( v ) ≠ c ( w $k$$k$$f$$k$$c$$v$$c(v)\in f(v)$$vw$$c(v)\ne c(w)$

Sekarang anggaplah bahwa grafik tidak dipilih. Artinya, ada fungsi dari simpul ke -tupel warna yang tidak memiliki penetapan warna yang valid . Yang ingin saya ketahui adalah, berapa sedikit total warna yang dibutuhkan? Seberapa kecil ? Apakah ada angka (tidak bergantung pada ) sehingga kami dapat dijamin untuk menemukan yang tidak dapat diwarnai yang hanya menggunakan warna berbeda ?k f k c ∪ v ∈ G f ( v ) N ( k ) G f N ( k $G$$k$$f$$k$$c$$\cup_{v\in G}f(v)$$N(k)$$G$$f$$N(k)$

Relevansi dengan CS adalah bahwa, jika ada, kita dapat menguji -kemampuan untuk konstan dalam waktu tunggal-eksponensial (coba saja semua \ binom {N (k)} {k} ^ n pilihan f , dan untuk masing-masing periksa apakah itu dapat diwarnai dalam waktu k ^ nn ^ {O (1)} ) sedangkan sebaliknya sesuatu yang lebih cepat tumbuh seperti n ^ {kn} mungkin diperlukan.k k ( N ( k $N(k)$$k$$k$$\binom{N(k)}{k}^n$$f$ n k $k^n n^{O(1)}$$n^{kn}$

Daniel Král dan Jiří Sgall menjawab pertanyaan Anda dengan negatif. Dari abstrak makalah mereka:

Grafik dikatakan -dapat dipilih jika simpulnya dapat diwarnai dari daftar dengan , untuk semua , dan dengan . Untuk setiap , kami membuat grafik yang -dapat dipilih tetapi tidak -dapat dipilih.( k , ℓ ) L ( v ) | L ( v ) | ≥ k v ∈ V ( G ) | ⋃ v ∈ V ( G ) L ( v ) | ≤ ℓ 3 ≤ $G$$(k,\ell)$$L(v)$$|L(v)| \ge k$$v\in V(G)$$|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$G ( k , ℓ ) ( k , ℓ + 1 $3 \le k \le \ell$$G$$(k,\ell)$$(k,\ell+1)$

Jadi, tidak ada jika . Král dan Sgall juga menunjukkan bahwa . Tentu saja, .k ≥ 3 N ( 2 ) = 4 N ( 1 ) = $N(k)$$k\ge 3$$N(2)=4$$N(1)=1$

Daniel Král, Jiří Sgall: Mewarnai grafik dari daftar dengan ukuran terikat serikat mereka . Jurnal Teori Grafik 49 (3): 177-186 (2005)

Sebagai sedikit promosi diri tanpa malu-malu, Marthe Bonamy dan saya menemukan lebih banyak jawaban negatif. Secara khusus, Teorema 4 dari http://arxiv.org/abs/1507.03495 meningkat pada hasil Král 'dan Sgall tersebut dalam kasus-kasus tertentu. Contoh yang kami gunakan adalah grafik bipartit lengkap, di mana kami menggunakan beberapa kombinatorik ekstrim untuk menganalisisnya.

Pekerjaan itu dimotivasi sebagian oleh pertanyaan meluap TCS ini.