Asimetri yang aneh dalam penokohan yang baik

Ada beberapa teorema, kebanyakan dalam teori grafik dan optimasi kombinatorial, yang sering disebut sebagai penokohan yang baik. Mereka biasanya menempatkan properti di , dengan menunjukkan bahwa suatu properti dapat bertahan, atau ada beberapa kendala yang teridentifikasi dengan baik yang mencegahnya menahan. Seringkali mereka disajikan sebagai teorema min-max, lihat pertanyaan sebelumnya masalah optimasi dengan karakterisasi yang baik, tetapi tidak ada algoritma waktu polinomial$NP\cap co-NP$

Berikut adalah dua contoh klasik penokohan yang baik:

1. Grafik bipartit memiliki kecocokan ukuran , atau jika tidak ada simpul k yang menutupi semua tepi. Keberadaan penutup semacam itu merupakan halangan sepele yang tidak termasuk kecocokan. Jika hambatan ini tidak ada, pencocokan harus ada, ini adalah bagian nontrivial, yang dikenal sebagai Teorema Konig.$k$$k$

2. Entah ada aliran nilai F dalam grafik aliran, atau yang lain ada s - t dipotong dengan kapasitas kurang dari F . Lagi-lagi, keberadaan potongan seperti itu adalah halangan yang sepele, karena aliran itu tidak dapat melewati. Bagian nontrivial adalah bahwa tidak adanya hambatan sudah menjamin keberadaan aliran nilai F , yang setara dengan Max Flow Min Cut Theorem.$s-t$$F$$s-t$$F$$F$

Apa yang saya temukan fitur aneh dalam hasil ini (dan banyak lainnya) adalah bahwa mereka menunjukkan asimetri yang terlihat dengan baik dalam bukti kekerasan antara dua arah dari kesetaraan. Biasanya, mudah, atau bahkan sepele, untuk membuktikan bahwa hambatan tidak termasuk properti yang dipertimbangkan. Di sisi lain, jauh lebih sulit untuk membuktikan bahwa hambatan mudah / sepele adalah satu - satunya hambatan, dalam arti bahwa begitu tidak ada, properti harus dipegang.

Saya tidak mengetahui penjelasan yang baik mengapa jenis asimetri ini sangat umum. Tampaknya tidak diperlukan apriori. Catatan: jangan sampai disesatkan oleh fakta bahwa contoh-contoh di atas adalah kasus khusus dualitas pemrograman linier. Ada contoh lain yang tidak ada hubungannya dengan pemrograman linier.

$NP\cap co-NP$

(Ini untuk menjawab komentar Sasho Nikolov, tetapi terlalu panjang untuk kolom komentar, jadi saya mempostingnya sebagai jawaban.)

Dua contoh dalam pertanyaan awal adalah kasus khusus dualitas LP. Ada banyak contoh serupa, tetapi orang dapat berpendapat bahwa mereka semua mewarisi asimetri dari dualitas LP. Dualitas LP yang lemah mudah dibuktikan (ini memberikan "halangan sepele"), sementara dualitas yang kuat lebih dalam, membuktikan bahwa halangan sepele adalah satu-satunya halangan. Dalam pengertian ini, contoh-contoh yang merupakan "anak-anak LP" dapat dilihat bahwa mereka hanyalah inkarnasi yang berbeda dari contoh inti yang sama.

Namun, berikut adalah beberapa kasus lain yang (sepengetahuan saya) tidak terkait dengan LP. Contoh di bawah ini semua dari teori grafik, tetapi bidang lain mungkin juga mengandung pola yang sama.

1. $k, l, d$$k$$l$$d$$k\leq l \leq d$. Karena (hampir) sepele untuk membuktikan bahwa parameter-parameter ini selalu memenuhi ketidaksetaraan, pelanggaran terhadap setidaknya satu ketidaksetaraan adalah hambatan sepele untuk grafik seperti itu ada. Arah lain, bahwa grafik seperti itu selalu ada adalah nontrivial. (Lihat buku Bollobas "Extremal Graph Theory," Theorem 1.5. Catatan: cara yang disajikan di sana agak lebih rumit, menggunakan lebih banyak ketidaksetaraan, karena juga menggunakan parameter lain, jumlah simpul. Tapi versi yang lebih sederhana ini bisa jadi diekstraksi darinya, untuk menunjukkan sifat esensial bahwa di sini lagi halangan sepele adalah satu-satunya halangan.)

2. $\geq 3$$K_5$$K_{3,n-3}$

3. $d_1\geq\ldots\geq d_n$$k\geq 2$$k$$d_1\geq\ldots\geq d_n$$d_n\geq k$, yang juga sepele diperlukan, karena konektivitas tepi dibatasi dari atas dengan tingkat minimum. Setelah kondisi sepele yang diperlukan pada dasarnya terpenuhi, grafik yang diinginkan selalu ada.

4. $G$$H$$G$$H$$G$$|E(H)|$$|E(G)|$$g$$H$$g$$|V(G)|-1$