Dampak program Grothendieck pada TCS


27

Grothendieck telah meninggal dunia . Dia memiliki dampak besar pada matematika abad ke-20 yang berlanjut ke abad ke-21. Pertanyaan ini ditanyakan dalam gaya / semangat, misalnya, dari Kontribusi Alan Turing untuk Ilmu Komputer .

Apa pengaruh utama Grothendieck pada ilmu komputer teoretis?



Mungkin ini relevan: Apakah Grothendieck komputer?
babou

6
Saya harap seseorang dari teori B menulis tentang teori kategori dan topologi Grothendieck (atau karyanya di sana tidak relevan dengan ilmu komputer?).
Sasho Nikolov

1
fyi beberapa sketsa / garis besar jawaban dari reddit / "frobenius"
vzn

2
Mungkin @AndrejBauer dapat membantu.
Sasho Nikolov

Jawaban:


28

Ketidaksetaraan Grothendieck , dari hari-harinya dalam analisis fungsional, pada awalnya terbukti menghubungkan norma-norma mendasar pada ruang-ruang produk tensor. Grothendieck menyebut ketidaksetaraan itu "teorema dasar teori metrik ruang produk tensor", dan menerbitkannya dalam makalah yang sekarang terkenal di tahun 1958, dalam bahasa Prancis, dalam jurnal Brazil yang bersirkulasi terbatas. Makalah ini sebagian besar diabaikan selama 15 tahun, sampai ditemukan kembali oleh Lindenstrauss dan Pelczynski (setelah Grothendieck meninggalkan analisis fungsional). Mereka memberikan banyak reformulasi dari hasil utama makalah ini, menghubungkannya dengan penelitian pada penjumlahan total operator dan norma faktorisasi, dan mengamati bahwa Grothendieck telah memecahkan masalah "terbuka" yang telah muncul setelahmakalah itu diterbitkan. Pisier memberikan laporan yang sangat rinci tentang ketidaksetaraan, variannya, dan pengaruhnya yang luar biasa pada analisis fungsional dalam surveynya .

max{xTAy:x{1,1}m,y{1,1}n}
max{i,jaijui,vj:u1,,um,v1,,vnSn+m1},
R n + mSn+m1Rn+m. Bukti ketidaksetaraan memberikan "algoritma pembulatan", dan pada kenyataannya pembulatan hyperplane acak Goemans-Williamson berfungsi dengan baik (tetapi memberikan konstanta suboptimal). Namun, ketidaksetaraan Grothendieck menarik karena analisis algoritma pembulatan harus "global", yaitu melihat semua istilah fungsi obyektif bersama-sama.

Setelah mengatakan ini, seharusnya tidak mengejutkan bahwa ketidaksetaraan Grothendiecks telah menemukan kehidupan kedua (ketiga? Keempat?) Dalam ilmu komputer. Khot dan Naor mensurvei beberapa aplikasi dan koneksi ke optimisasi kombinatorial.

Cerita tidak berakhir di situ. Ketidaksetaraan ini terkait dengan pelanggaran Bell ketimpangan dalam mekanika kuantum (lihat makalah Pisier), telah digunakan oleh Linial dan Shraibman dalam mengerjakan kompleksitas komunikasi, dan bahkan ternyata berguna dalam pekerjaan analisis data pribadi (plug shameless).


1
Berikut ini adalah teks lain tentang ketimpangan dan CS Grothendieck . Tapi saya tidak memenuhi syarat untuk berkomentar.
babou

Ceramah oleh Giles Pisier di IHES mungkin juga menarik: dailymotion.com/video/… (sayangnya itu terganggu oleh iklan yang mengganggu).
Sasho Nikolov

17

Dampak Grothendieck dapat dirasakan dalam teori jenis dan logika. Misalnya, 700+ halaman volume Logika Kategori dan Teori Tipe Bart Jacobs memberikan perlakuan yang seragam dari berbagai teori tipe (teori tipe- , di mana X { sederhana , dependen , polimorfik , orde tinggi } ) berdasarkan pada gagasan kategori dari Fibrasi Grothendieck (juga disebut fibrasi kartesius). Demikian pula, gagasan Topos , juga karena Grothendieck, memainkan peran besar dalam menyediakan semantik kategoris pada teori logika dan tipe, yang menarik bagi ahli logika dan ilmuwan komputer teoretis.XX{simple, dependent, polymorphic, higher-order}


lebih karena lebih dulu dalam menyiapkan topos dasar?
Nikolaj-K

1
@NikolajK Tidak ada arti formal yang nyata untuk penggunaan saya lebih - Bab 11 buku ini membahas Teori Ketergantungan Jenis Orde Tinggi, misalnya.
Dave Clarke

12

Setiap aplikasi kohomologi -adik, kohomologi etale dalam rumus penghitungan titik untuk varietas aljabar memiliki akar dalam karyanya.p

Saya menduga visi Mulmuley tentang generalisasi hipotesis Riemann atas bidang terbatas yang berasal dari dugaan Weil dapat dianggap sebagai mengajukan pertanyaan yang awalnya memiliki hasil yang bermanfaat dari kohomologi etale Grothendieck.


1
Apakah aplikasi ini dalam ilmu komputer teoretis? Semuanya kedengarannya seperti matematika bagi saya - atau mungkin itu sedikit TCS.
Dave Clarke

7
Iya nih. Teori kriptografi dan pengkodean secara konsisten menggunakan penghitungan titik dan jumlah Gauss. Program Mulmuley adalah satu-satunya yang dikenal untuk mengatasi semua penghalang dikenal vs V P pemisahan. Mungkin ada banyak aplikasi lain juga. VNPVP
T ....
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.