Dampak program Grothendieck pada TCS

Grothendieck telah meninggal dunia . Dia memiliki dampak besar pada matematika abad ke-20 yang berlanjut ke abad ke-21. Pertanyaan ini ditanyakan dalam gaya / semangat, misalnya, dari Kontribusi Alan Turing untuk Ilmu Komputer .

Apa pengaruh utama Grothendieck pada ilmu komputer teoretis?

Ketidaksetaraan Grothendieck , dari hari-harinya dalam analisis fungsional, pada awalnya terbukti menghubungkan norma-norma mendasar pada ruang-ruang produk tensor. Grothendieck menyebut ketidaksetaraan itu "teorema dasar teori metrik ruang produk tensor", dan menerbitkannya dalam makalah yang sekarang terkenal di tahun 1958, dalam bahasa Prancis, dalam jurnal Brazil yang bersirkulasi terbatas. Makalah ini sebagian besar diabaikan selama 15 tahun, sampai ditemukan kembali oleh Lindenstrauss dan Pelczynski (setelah Grothendieck meninggalkan analisis fungsional). Mereka memberikan banyak reformulasi dari hasil utama makalah ini, menghubungkannya dengan penelitian pada penjumlahan total operator dan norma faktorisasi, dan mengamati bahwa Grothendieck telah memecahkan masalah "terbuka" yang telah muncul setelahmakalah itu diterbitkan. Pisier memberikan laporan yang sangat rinci tentang ketidaksetaraan, variannya, dan pengaruhnya yang luar biasa pada analisis fungsional dalam surveynya .

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ R n + $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. Bukti ketidaksetaraan memberikan "algoritma pembulatan", dan pada kenyataannya pembulatan hyperplane acak Goemans-Williamson berfungsi dengan baik (tetapi memberikan konstanta suboptimal). Namun, ketidaksetaraan Grothendieck menarik karena analisis algoritma pembulatan harus "global", yaitu melihat semua istilah fungsi obyektif bersama-sama.

Setelah mengatakan ini, seharusnya tidak mengejutkan bahwa ketidaksetaraan Grothendiecks telah menemukan kehidupan kedua (ketiga? Keempat?) Dalam ilmu komputer. Khot dan Naor mensurvei beberapa aplikasi dan koneksi ke optimisasi kombinatorial.

Cerita tidak berakhir di situ. Ketidaksetaraan ini terkait dengan pelanggaran Bell ketimpangan dalam mekanika kuantum (lihat makalah Pisier), telah digunakan oleh Linial dan Shraibman dalam mengerjakan kompleksitas komunikasi, dan bahkan ternyata berguna dalam pekerjaan analisis data pribadi (plug shameless).

Dampak Grothendieck dapat dirasakan dalam teori jenis dan logika. Misalnya, 700+ halaman volume Logika Kategori dan Teori Tipe Bart Jacobs memberikan perlakuan yang seragam dari berbagai teori tipe (teori tipe- , di mana X ⊆ { sederhana , dependen , polimorfik , orde tinggi } ) berdasarkan pada gagasan kategori dari Fibrasi Grothendieck (juga disebut fibrasi kartesius). Demikian pula, gagasan Topos , juga karena Grothendieck, memainkan peran besar dalam menyediakan semantik kategoris pada teori logika dan tipe, yang menarik bagi ahli logika dan ilmuwan komputer teoretis.$X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

Setiap aplikasi kohomologi -adik, kohomologi etale dalam rumus penghitungan titik untuk varietas aljabar memiliki akar dalam karyanya.$p$

Saya menduga visi Mulmuley tentang generalisasi hipotesis Riemann atas bidang terbatas yang berasal dari dugaan Weil dapat dianggap sebagai mengajukan pertanyaan yang awalnya memiliki hasil yang bermanfaat dari kohomologi etale Grothendieck.