Apakah ada bukti keraguan tentang masalah penghentian yang tidak bergantung pada referensi-diri atau diagonalisasi?

Ini adalah pertanyaan yang terkait dengan yang ini . Menempatkannya kembali dalam bentuk yang lebih sederhana setelah banyak diskusi di sana, yang rasanya seperti pertanyaan yang sama sekali berbeda.

Bukti klasik dari ketidakpastian masalah penghentian tergantung pada menunjukkan kontradiksi ketika mencoba menerapkan penentu HALT hipotetis untuk dirinya sendiri. Saya pikir ini hanya menunjukkan ketidakmungkinan memiliki penentu HALT yang memutuskan apakah itu sendiri akan berhenti atau tidak, tetapi tidak memberikan informasi lebih dari itu tentang kepantasan menghentikan kasus lain .

Jadi pertanyaannya adalah

Apakah ada bukti bahwa masalah penghentian tidak dapat diputuskan yang tidak bergantung pada menunjukkan bahwa HALT tidak dapat memutuskan sendiri, juga tidak bergantung pada argumen diagonalisasi?

Suntingan kecil: Saya akan berkomitmen pada ungkapan asli dari pertanyaan, yang meminta bukti yang sama sekali tidak bergantung pada diagonisasi (daripada hanya mengharuskannya untuk tidak bergantung pada diagonalisasi yang bergantung pada HALT).

Ya, ada bukti seperti itu dalam teori komputabilitas (alias teori rekursi).

Anda pertama dapat menunjukkan bahwa penghentian masalah (set ) dapat digunakan untuk menghitung satu set G ⊆ N yang 1-generik makna yang dalam arti masing-masing Σ 0 1 fakta tentang G ditentukan oleh awalan terbatas G . Maka mudah untuk membuktikan bahwa himpunan G seperti itu tidak dapat dihitung (yaitu, decidable).$0'$$G\subseteq\mathbb N$$\Sigma^0_1$$G$$G$$G$

Kita dapat mengganti 1- generik di sini dengan 1-acak, yaitu, Martin-Löf acak , untuk efek yang sama. Ini menggunakan Teorema Dasar Rendah Jockusch-Soare .

(Peringatan: orang mungkin menganggap hanya menunjukkan bahwa menghitung Chaitin Ω , yang merupakan 1-acak, tetapi di sini kita harus berhati-hati tentang apakah bukti bahwa Ω adalah 1-acak bergantung pada masalah penghentian yang tidak dapat diputuskan! Oleh karena itu lebih aman untuk cukup gunakan Teorema Dasar Rendah).$0'$$\Omega$$\Omega$

Diposting ulang dari komentar saya sesuai permintaan:

Mulailah dengan pengamatan bahwa ada masalah yang tidak dapat dipastikan (argumen kardinalitas sederhana), dan terlebih lagi bahwa ada masalah yang tidak dapat dipastikan P yang memiliki TM M yang mengenali anggotanya (tetapi mungkin tidak berakhir pada yang bukan anggota). Sekarang, menyelesaikan HALT (M) memberi Anda penentu untuk P. Kami pertama kali memeriksa apakah M berhenti di x. Jika ya, kita jalankan dan kembalikan sama dengan M. Kalau tidak, kita tolak, karena M berhenti pada setiap anggota P. Ini sekarang merupakan kontradiksi karena kami menganggap P tidak dapat ditentukan.

Catatan: Dia mengklarifikasi bahwa dia sedang mencari argumen yang menghindari diagonalisasi menggunakan HALT secara langsung, bukan argumen yang sepenuhnya menghindari diagonisasi.

EDIT: Argumen ini macet. Dapatkah Anda menunjukkan secara langsung bahwa RE - REC tidak kosong, selain untuk menunjukkan bahwa HALT ada di sana?

Poster lain menyinggung ini (dengan merujuk pada Chaitin), tetapi Anda dapat menggunakan paradoks Berry untuk membuktikan bahwa masalah penghentian tidak dapat diputuskan. Berikut ini sketsa buktinya:

Biarkan HALT menjadi mesin yang memutuskan jika ada mesin M yang berhenti pada input I. Kami akan menunjukkan bahwa HALT sendiri gagal menghentikan input tertentu, yang menunjukkan bahwa ia tidak dapat memutuskan bahasa.

Pertimbangkan fungsi berikut f:

f (M, n) = a, di mana a adalah bilangan bulat positif terkecil yang tidak dapat dihitung oleh mesin M pada input I apa pun dengan | I | <n

Dengan asumsi bahwa HALT adalah fungsi yang dapat dihitung, f juga merupakan fungsi yang dapat dihitung; cukup mensimulasikan HALT (M, I) untuk setiap mesin M dan input string I dengan panjang I kurang dari n. Jika simulasi berhenti, maka simulasikan M (I) dan catat apa outputnya, dan temukan output terkecil yang tidak dihasilkan oleh pasangan M, n.

Sekarang, kami menunjukkan bahwa f tidak dapat dihitung: pertimbangkan f (f, 10000000 * | f | +10000000). Apa pun outputnya, itu harus bilangan bulat (positif) yang tidak dapat dihitung oleh mesin yang menghitung f pada input I dengan panjang kurang dari yang diberikan ... namun kami baru saja mengeluarkan bilangan bulat seperti itu dengan f dan lebih singkat. memasukkan.

Jadi, f tidak dapat dihitung, dan asumsi kami bahwa HALT dapat dihitung adalah salah. Saya tidak percaya bukti ini menggunakan diagonalisasi.

$\{W_e\}_{e=1}^{\infty}$$f$$e$$W_e = W_{f(e)}$$0$$f$$e$$0$$W_e$$0$$e$$W_e(0)$$W_{f(e)}(0)$