Apakah shift-chain dua warna?


23

Untuk A[n] dilambangkan dengan ai yang ith elemen terkecilA .

Untuk dua set elemen k , A,B[n] , kita mengatakan bahwa AB jika aibi untuk setiap i .

Sebuah k -uniform hipergraf H[n] disebut pergeseran-rantai jika untuk setiap hyperedges, A,BH , kita memiliki AB atau BA . (Jadi rantai shift memiliki paling banyak k(nk)+1 hyperedges.)

Kami mengatakan bahwa hypergraph H adalah dua warna (atau memiliki Properti B) jika kita bisa mewarnai simpulnya dengan dua warna sehingga tidak ada hyperedge yang monokromatik.

Benarkah shift-chain dua warna jika k cukup besar?

KomentarSaya pertama kali memposting masalah ini di mathoverflow , tetapi tidak ada yang mengomentarinya.

Masalahnya diselidiki pada Lokakarya Emlektabla ke-1 untuk beberapa hasil parsial, lihat buklet .

Pertanyaannya dimotivasi oleh dekomposisi beberapa penutup pesawat dengan menerjemahkan bentuk cembung, ada banyak pertanyaan terbuka di bidang ini. (Untuk lebih lanjut, lihat tesis PhD .)

Untuk k=2 ada contoh tandingan sepele: (12), (13), (23).

Contoh tandingan yang sangat ajaib diberikan untuk k=3 oleh Radoslav Fulek dengan program komputer:

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).

Jika kita membiarkan hypergraph menjadi penyatuan dua rantai shift (dengan urutan yang sama), maka ada contoh tandingan untuk setiap k .

Memperbarui. Baru-baru ini saya berhasil menunjukkan bahwa versi yang lebih terbatas dari rantai shift dua warna dalam cetakan ini .

Hadiah permanen! Saya senang memberikan hadiah 500 untuk solusi kapan saja!


2
Properti B lebih sering disebut 2-colourability.
Colin McQuillan

1
@Colin McQuillan: Saya juga berpikir demikian karena saya belum pernah mendengar nama "Properti B". Namun, tampaknya "Properti B" adalah nama umum dalam literatur. en.wikipedia.org/wiki/Property_B
Tsuyoshi Ito

2
Saya berdiri dikoreksi. Saya telah menghapus jawaban salah saya juga.
Colin McQuillan

Jawaban:


13

Ini bukan jawaban. Berikut ini adalah bukti sederhana bahwa konstruksi untuk k = 3 memang merupakan contoh tandingan. Saya pikir penanya mengetahui bukti ini, tetapi saya akan tetap mempostingnya karena buktinya bagus dan ini mungkin berguna ketika orang mempertimbangkan kasus k yang lebih besar .

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa itu adalah rantai shift. Mari kita tunjukkan bahwa ia tidak memiliki Properti B.

Bahkan, subhypergraph {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)} sudah gagal memenuhi Properti B. Untuk melihat ini, anggaplah bahwa hypergraph ini memiliki 2-warna dan biarkan c i menjadi warna dari simpul i . Lihatlah tiga hyperedges (145), (245), (345). Jika c 4 = c 5 , maka semua 1, 2 dan 3 harus menjadi warna yang berlawanan dengan c 4 , tetapi ini akan memberikan hyperedge monokromatik (123). Oleh karena itu, harus menjadi kasus yang c 4c 5 . Demikian pula,

  • c 3c 4 dengan membandingkan tiga hyperedges (345), (346), (347) dan memperhatikan hyperedge (567).
  • c 6c 7 dengan membandingkan tiga hyperedges (367), (467), (567) dan memperhatikan hyperedge (345).
  • c 5c 6 dengan membandingkan tiga hyperedges (567), (568), (569) dan memperhatikan hyperedge (789).

Oleh karena itu, kita memiliki c 3c 4c 5c 6c 7 . Tapi ini menyiratkan c 3 = c 5 = c 7 , membuat hyperedge (357) monokromatik. Ini bertentangan dengan asumsi pewarnaan 2.


3
Sangat bagus, penanya menyukai bukti Anda. Terima kasih telah menuliskannya!
domotorp

1

Mungkin saya kehilangan sesuatu tetapi saya pikir ada batas bawah yang baik dengan metode probabilistik:

Jika Anda mewarnai setiap sudut indepedently dengan probabilitas untuk setiap warna maka Anda memiliki tepi monokromatik dengan probabilitas 2 ( 11/2. Denganlemas lokal LovaszAnda mendapatkan bahwa rantai shift memiliki propertiBjika k(n-k)+12 k -2(12)k=2k+1B

k(nk)+12k1e1.
k=Ω(log(n))nlog(n)ncn

O(k/ln(k)2k)kB


2
Anda benar bahwa jika k cukup besar dibandingkan dengan n, maka pernyataan itu benar (misalnya k = n sepele). Masalahnya adalah untuk membuktikan bahwa jika k lebih besar dari konstanta absolut, yaitu 4, maka pernyataan itu benar untuk setiap n.
domotorp

Oke, abaikan saja jawabannya :)
Marc Bury
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.